Solution de référence
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Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence
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Pour les sphères minces (:math:`\mathrm{i.t}\ll R`  avec :math:`i` , ordre du mode), les modes propres avec déplacement radial et tangentiel établis par une théorie de membrane sont donnés par [:ref:`bib1 <bib1>`] et [:ref:`bib2 <bib2>`] :

:math:`{f}_{i}=\frac{{\lambda}_{i}}{2\pi R}\sqrt{\frac{E}{\rho (1-{\nu}^{2})}}`

avec :math:`{\lambda}_{i}=\frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{b\pm \sqrt{{b}^{2}-4(1-{\nu}^{2})({i}^{2}+i-2)}}` et :math:`b={i}^{2}+i+1+3\nu`

La théorie présentée par Hayek permet d'introduire une correction de l'effet de flexion (approximation de la théorie générale de Wilkinson) qui conduit à des valeurs de :math:`{\lambda}_{i}` fonction de

:math:`\begin{array}{}a={t}^{2}/12{R}^{2}\\ b=i(i+1)\end{array}`

et solution de:

:math:`{\lambda}_{i}^{4}-{\lambda}_{i}^{2}[1+3\nu -a(1-\nu )+b(1+a\nu +\mathrm{ab})]+\mathrm{ab}[{b}^{2}-\mathrm{4b}+5-{\nu}^{2}]+(1-{\nu}^{2})[b-2(1+a)]=0`


Résultats de référence
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Fréquences propres :


.. csv-table::

    "**i**", "**Fréquences propres**"
    "2", "237.25"
    "3", "282.85"
    "4", "305.24"
    "5", "324.17"
    "6", "346.76"
    "7", "376.68"
    "8", "416."
    "9", "465.75"
    "10", "526.20"



Incertitude sur la solution
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Solution analytique.


Références bibliographiques
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1.  Fiche VPCS SDLS 07/89 dans le Guide de Validation des Progiciels de Calcul de Structures/SFM AFNOR TECHNIQUE 1990.


2.  S. HAYEK : "Vibrations of a spherical shell in acoustic medium", Journal of the Acoustical Society of America, Vol. 40, 2, 1996, p. 342-348