2. Solutions de référence#
2.1. Méthode de calcul utilisée pour les solutions de référence#
2.1.1. Chargement réparti de traction-compression#
Une poutre droite de longueur \(L\) travaillant uniquement en traction-compression est soumise à un chargement réparti constant suivant \(x\) mais variant de façon sinusoïdale en fonction du temps. Elle est encastrée à ses deux extrémités.
\(\lbrace \begin{array}{c}\rho S\frac{{\partial}^{2}u}{\partial {t}^{2}}-\mathit{ES}\frac{{\partial}^{2}u}{\partial {x}^{2}}=f(t)\\ u(0)=0,u(L)=0\end{array}\)
Pour résoudre, on applique à l’équation la transformée de Fourier en temps :
\(\frac{{\partial}^{2}\stackrel{ˆ}{u}}{\partial {x}^{2}}=-\frac{\rho}{E}4{\pi}^{2}{\omega}^{2}\stackrel{ˆ}{u}+\frac{1}{\mathit{ES}}\stackrel{ˆ}{f}(\omega )\)
\(\stackrel{ˆ}{u}\) |
: |
transformée de Fourier de \(u\) , |
\(\stackrel{ˆ}{f}\) |
: |
transformée de Fourier de \(f\) . |
Ainsi, nous avons pour \(f(t)=F\cos(2\pi {\omega}_{0}t)\) :
avec : \({a}^{2}=\frac{E}{\rho}\) .
L’utilisation de la loi de comportement nous donne l’effort de traction compression:
\(N(x,t)=\frac{aF}{2\pi {\omega}_{0}}\left\lbrace \left[1-\cos\left(\frac{2\pi {\omega}_{0}}{a}L\right)\right]\frac{\cos\left(\frac{2\pi {\omega}_{0}}{a}x\right)}{\sin\left(\frac{2\pi {\omega}_{0}}{a}L\right)}-\sin\left(\frac{2\pi {\omega}_{0}}{a}x\right)\right\rbrace \cos\left(2\pi {\omega}_{0}t\right)\)
2.1.2. Chargements ponctuels#
Une poutre console de longueur \(L\) travaillant uniquement en traction compression (ou en torsion) est soumise à une force sinusoïdale en temps, (ou un moment) appliquée à son extrémité libre.
2.1.2.1. Traction#
La technique de résolution est équivalente à celle du paragraphe [§2.1.1.1].
Pour \(f(t)=F\cos(2\pi {\omega}_{0}t)\) , nous avons :
et
2.1.2.2. Torsion#
2.2. Résultats de référence#
Les efforts intérieurs (\(N\) et \(\mathrm{MT}\) )
2.3. Incertitude sur la solution#
Solution analytique.
2.4. Références bibliographiques#
Rapport n° 2314/A de l’Institut Aérotechnique «Proposition et réalisation de nouveaux cas tests manquant à la validation des poutres ASTER»