Solutions de référence
======================


Méthode de calcul utilisée pour les solutions de référence
----------------------------------------------------------


Chargement réparti de traction-compression
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Une poutre droite de longueur :math:`L` travaillant uniquement en traction-compression est soumise à un chargement réparti constant suivant :math:`x` mais variant de façon sinusoïdale en fonction du temps. Elle est encastrée à ses deux extrémités.

:math:`\lbrace  \begin{array}{c}\rho S\frac{{\partial}^{2}u}{\partial {t}^{2}}-\mathit{ES}\frac{{\partial}^{2}u}{\partial {x}^{2}}=f(t)\\ u(0)=0,u(L)=0\end{array}`

Pour résoudre, on applique à l'équation la transformée de Fourier en temps :

:math:`\frac{{\partial}^{2}\stackrel{ˆ}{u}}{\partial {x}^{2}}=-\frac{\rho}{E}4{\pi}^{2}{\omega}^{2}\stackrel{ˆ}{u}+\frac{1}{\mathit{ES}}\stackrel{ˆ}{f}(\omega )`


.. csv-table::

    ":math:`\stackrel{ˆ}{u}`", ":", "transformée de Fourier de :math:`u` ,"
    ":math:`\stackrel{ˆ}{f}`", ":", "transformée de Fourier de :math:`f` ."


Ainsi, nous avons pour :math:`f(t)=F\cos(2\pi {\omega}_{0}t)` :


.. image:: images/Object_10.svg
    :width: 429
    :height: 145


.. _RefImage_Object_10.svg:

avec : :math:`{a}^{2}=\frac{E}{\rho}` .

L'utilisation de la loi de comportement nous donne l'effort de traction compression:

:math:`N(x,t)=\frac{aF}{2\pi {\omega}_{0}}\left\lbrace \left[1-\cos\left(\frac{2\pi {\omega}_{0}}{a}L\right)\right]\frac{\cos\left(\frac{2\pi {\omega}_{0}}{a}x\right)}{\sin\left(\frac{2\pi {\omega}_{0}}{a}L\right)}-\sin\left(\frac{2\pi {\omega}_{0}}{a}x\right)\right\rbrace \cos\left(2\pi {\omega}_{0}t\right)`


Chargements ponctuels
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Une poutre console de longueur :math:`L` travaillant uniquement en traction compression (ou en torsion) est soumise à une force sinusoïdale en temps, (ou un moment) appliquée à son extrémité libre.


Traction
^^^^^^^^


.. image:: images/Object_13.svg
    :width: 429
    :height: 145


.. _RefImage_Object_13.svg:

La technique de résolution est équivalente à celle du paragraphe [:ref:`§2.1.1.1 <§2.1.1.1>`].

Pour :math:`f(t)=F\cos(2\pi {\omega}_{0}t)` , nous avons :


.. image:: images/Object_15.svg
    :width: 429
    :height: 145


.. _RefImage_Object_15.svg:

et

.. image:: images/Object_16.svg
    :width: 429
    :height: 145


.. _RefImage_Object_16.svg:


Torsion
^^^^^^^


.. image:: images/Object_17.svg
    :width: 429
    :height: 145


.. _RefImage_Object_17.svg:


Résultats de référence
----------------------

Les efforts intérieurs (:math:`N`  et :math:`\mathrm{MT}` )


Incertitude sur la solution
---------------------------

Solution analytique.


Références bibliographiques
---------------------------


1.  Rapport n° 2314/A de l’Institut Aérotechnique «Proposition et réalisation de nouveaux cas tests manquant à la validation des poutres ASTER»