2. Solution de référence

2.1. Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence

• Sans amortissement: la solution analytique du problème à un élément est:

\({x}_{B}(t)=\frac{{F}_{x}}{m{\omega}_{0}^{2}}(1-\cos{\omega}_{0}t)\)

\(m=\frac{1}{3}\rho \mathrm{SI}\) , \({\omega}_{0}^{2}=\frac{3E}{\rho {I}^{2}}\) , \({T}_{0}=\frac{2\pi }{{\omega}_{0}}\)

où \(S\) est l’aire de la section \((\pi {R}^{2})\) .

• Avec amortissement: la solution analytique du problème à un élément est:

\({x}_{B}(t)=\frac{{F}_{x}}{m{\omega}_{0}^{2}}\left[1-\exp(-\frac{\mu +\lambda {\omega}_{0}^{2}}{2}.t).(\frac{\mu +\lambda {\omega}_{0}^{2}}{2{\omega}_{1}}\sin({\omega}_{1}t)+\cos({\omega}_{1}t))\right]\)

\(\lambda ,\mu\) coefficient de l’amortissement proportionnel \(C=\lambda K+\mu M\)

\({\omega}_{1}=\frac{\sqrt{(4-2\lambda \mu ){\omega}_{0}^{2}-{\mu}^{2}-{\lambda}^{2}{\omega}_{0}^{4}}}{2}\)

2.2. Résultats de référence

Déplacement \({x}_{B}\) à \(t=\frac{i{T}_{0}}{10}\) \(i=1,\mathrm{...},10\)

avec: \({T}_{0}=\frac{2\pi }{{\omega}_{0}}\)

2.3. Incertitude sur la solution

Solution analytique.

Remarque:

La solution de référence correspond à la solution obtenue avec la discrétisation à un élément et en gardant une matrice masse pleine. Cela permet de valider l’algorithme mais ce n’est pas la solution du problème physique.