Solution de référence
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Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence
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*   Sans amortissement: la solution analytique du problème à un élément est:

:math:`{x}_{B}(t)=\frac{{F}_{x}}{m{\omega}_{0}^{2}}(1-\cos{\omega}_{0}t)`

:math:`m=\frac{1}{3}\rho \mathrm{SI}` , :math:`{\omega}_{0}^{2}=\frac{3E}{\rho {I}^{2}}` , :math:`{T}_{0}=\frac{2\pi }{{\omega}_{0}}`

où :math:`S` est l'aire de la section :math:`(\pi {R}^{2})` .


*   Avec amortissement: la solution analytique du problème à un élément est:

:math:`{x}_{B}(t)=\frac{{F}_{x}}{m{\omega}_{0}^{2}}\left[1-\exp(-\frac{\mu +\lambda {\omega}_{0}^{2}}{2}.t).(\frac{\mu +\lambda {\omega}_{0}^{2}}{2{\omega}_{1}}\sin({\omega}_{1}t)+\cos({\omega}_{1}t))\right]`

:math:`\lambda ,\mu` coefficient de l'amortissement proportionnel :math:`C=\lambda K+\mu M`

:math:`{\omega}_{1}=\frac{\sqrt{(4-2\lambda \mu ){\omega}_{0}^{2}-{\mu}^{2}-{\lambda}^{2}{\omega}_{0}^{4}}}{2}`


Résultats de référence
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Déplacement :math:`{x}_{B}` à :math:`t=\frac{i{T}_{0}}{10}` :math:`i=1,\mathrm{...},10`

avec: :math:`{T}_{0}=\frac{2\pi }{{\omega}_{0}}`


Incertitude sur la solution
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Solution analytique.

**Remarque:**

*La solution de référence correspond à la solution obtenue avec la discrétisation à un élément et en gardant une matrice masse pleine. Cela permet de valider l’algorithme mais ce n’est pas la solution du problème physique.*