2. Solution de référence#
2.1. Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence#
Modes de vibration dans le plan
Pour ces modes de vibration, l’équation de flexion des poutres courbes de V. Boussinesq (1883), sans extension de la fibre neutre conduit à:
La solution de référence est établie pour des arcs minces tels que \(\alpha R\ge 100\sqrt{(\frac{{I}_{z}}{A})}\) avec \(\alpha\) , angle au centre en radians.
Modes de vibration hors plan
Pour les modes de vibrations transverses avec section rectangulaire, la solution a été établie à partir du résultats de deux codes de calculs, utilisant des formulations différentes.
Modes propres dans le plan (coordonnées polaires \((i,\theta )\) ) |
Modes propres hors plan |
|||
Symétriques \({u}_{i}^{'}=i\cos(i\theta )\) \({v}_{i}^{'}=\sin(i\theta )\) 
\({\theta}_{i}^{'}=-\frac{1-{i}^{2}}{R}\sin(i\theta )\) |
\(i=0\) Rotation d’ensemble \(i=1\) translation d’ensemble \(i=2\) \(i=3\) |
Antisymétriques \({u}_{i}^{'}=i\sin(i\theta )\) \({v}_{i}^{'}=-\cos(i\theta )\) \({\theta}_{i}^{'}=-\frac{1-{i}^{2}}{R}\cos(i\theta )\) 
|
\(i=0\) \(i=1\) \(i=2\) \(i=3\) \(i=4\) |
|
2.2. Grandeur de référence#
\(\mathrm{FREQ}\) : fréquence
2.3. Grandeur et résultat de référence#
Composante |
Nature du mode propre |
Référence \((\mathrm{Hz})\) |
||
\(i\) |
ordre |
|||
Modes dans le plan |
\(\mathrm{FREQ}\) |
\(2\) |
\(4,5\) |
\(318.36\) |
\(3\) |
\(6,7\) |
\(900.46\) |
||
\(4\) |
\(8,9\) |
\(1726.55\) |
||
\(5\) |
\(10,11\) |
\(2792.21\) |
||
Modes transverses |
\(\mathrm{FREQ}\) |
\(2\) |
\(4,5\) |
\(511.\) |
\(3\) |
\(6,7\) |
\(1590.\) |
||
\(4\) |
\(8,9\) |
\(3184.\) |
||
2.4. Références bibliographiques#
[bib1] Guide de Validation des Progiciels de Calculs des Structures: SFM, AFNOR technique, ISBN: 2-12-486611-7