Solution de référence
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Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence
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*   Modes de vibration dans le plan

Pour ces modes de vibration, l’équation de flexion des poutres courbes de V. Boussinesq (1883), sans extension de la fibre neutre conduit à:

.. math::
    :label: eq-1

    {f}_{i}=\frac{1}{2\pi }\sqrt{(\frac{{i}^{2}{({i}^{2}-1)}^{2}}{{i}^{2}+1}\times \frac{{\mathit{EI}}_{Z}}{\rho {\mathit{AR}}^{4}})}

La solution de référence est établie pour des arcs minces tels que :math:`\alpha R\ge 100\sqrt{(\frac{{I}_{z}}{A})}` avec :math:`\alpha` , angle au centre en radians.


*   Modes de vibration hors plan

Pour les modes de vibrations transverses avec section rectangulaire, la solution a été établie à partir du résultats de deux codes de calculs, utilisant des formulations différentes.


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| Modes propres                                                                                                                                                                      | Modes propres                                                                   |
| dans le plan                                                                                                                                                                       | hors plan                                                                       |
| (coordonnées polaires :math:`(i,\theta )` )                                                                                                                                        |                                                                                 |
+-----------------------------------------------------------------------------+------------------------+-----------------------------------------------------------------------------+----------------+----------------------------------------------------------------+
| Symétriques :math:`{u}_{i}^{'}=i\cos(i\theta )`                             |                        | Antisymétriques :math:`{u}_{i}^{'}=i\sin(i\theta )`                         |                |                                                                |
| :math:`{v}_{i}^{'}=\sin(i\theta )`                                          | :math:`i=0`            | :math:`{v}_{i}^{'}=-\cos(i\theta )`                                         | :math:`i=0`    | .. image:: images/10000200000000AB000002080926F5C1B4FB4007.png |
|                                                                             | Rotation d’ensemble    | :math:`{\theta}_{i}^{'}=-\frac{1-{i}^{2}}{R}\cos(i\theta )`                 |                |     :width: 1.0665in                                           |
| .. image:: images/10000200000000A1000001E40D47DF5F899015DD.png              |                        |                                                                             | :math:`i=1`    |     :height: 3.2429in                                          |
|     :width: 0.7646in                                                        | :math:`i=1`            | .. image:: images/10000200000000A8000001F385C32AFB0B5097BF.png              |                |                                                                |
|     :height: 2.3673in                                                       | translation d’ensemble |     :width: 0.8366in                                                        | :math:`i=2`    |                                                                |
|                                                                             |                        |     :height: 2.5445in                                                       |                | .. _RefImage_10000200000000AB000002080926F5C1B4FB4007.png:     |
|                                                                             | :math:`i=2`            |                                                                             | :math:`i=3`    |                                                                |
| .. _RefImage_10000200000000A1000001E40D47DF5F899015DD.png:                  |                        |                                                                             |                |                                                                |
|                                                                             | :math:`i=3`            | .. _RefImage_10000200000000A8000001F385C32AFB0B5097BF.png:                  | :math:`i=4`    |                                                                |
| :math:`{\theta}_{i}^{'}=-\frac{1-{i}^{2}}{R}\sin(i\theta )`                 |                        |                                                                             |                |                                                                |
|                                                                             |                        |                                                                             |                |                                                                |
+-----------------------------------------------------------------------------+------------------------+-----------------------------------------------------------------------------+----------------+----------------------------------------------------------------+


Grandeur de référence
---------------------


*   :math:`\mathrm{FREQ}` : fréquence


Grandeur et résultat de référence
---------------------------------

+--------------------+-----------------------+------------------------------------------------+-----------------------+
|                    | Composante            | Nature du mode propre                          | Référence             |
|                    |                       |                                                | :math:`(\mathrm{Hz})` |
|                    |                       +-----------------------+------------------------+                       |
|                    |                       | :math:`i`             | ordre                  |                       |
+--------------------+-----------------------+-----------------------+------------------------+-----------------------+
| Modes dans le plan | :math:`\mathrm{FREQ}` | :math:`2`             | :math:`4,5`            | :math:`318.36`        |
|                    |                       +-----------------------+------------------------+-----------------------+
|                    |                       | :math:`3`             | :math:`6,7`            | :math:`900.46`        |
|                    |                       +-----------------------+------------------------+-----------------------+
|                    |                       | :math:`4`             | :math:`8,9`            | :math:`1726.55`       |
|                    |                       +-----------------------+------------------------+-----------------------+
|                    |                       | :math:`5`             | :math:`10,11`          | :math:`2792.21`       |
+--------------------+-----------------------+-----------------------+------------------------+-----------------------+
| Modes transverses  | :math:`\mathrm{FREQ}` | :math:`2`             | :math:`4,5`            | :math:`511.`          |
|                    |                       +-----------------------+------------------------+-----------------------+
|                    |                       | :math:`3`             | :math:`6,7`            | :math:`1590.`         |
|                    |                       +-----------------------+------------------------+-----------------------+
|                    |                       | :math:`4`             | :math:`8,9`            | :math:`3184.`         |
+--------------------+-----------------------+-----------------------+------------------------+-----------------------+


Références bibliographiques
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[bib1]   Guide de Validation des Progiciels de Calculs des Structures: SFM, AFNOR technique, ISBN: 2-12-486611-7