2. Solution de référence#

2.1. Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence#

Le problème est traité par un modèle à un degré de liberté. Le poteau est considéré comme une poutre non amortie et non pesante élancée de rigidité \(k=3E{I}_{Z}/{l}^{\mathrm{3 }}=3,942{.10}^{\mathrm{7 }}N/m\) . La superstructure située au sommet du poteau est modélisée par une masse ponctuelle \(m=43,8{10}^{\mathrm{3 }}\mathrm{kg}\) .

Les deux cas de charge conduisent au calcul de la réponse d’un système à un degré de liberté soumis à une accélération \(\gamma (t)\) de forme quelconque:

\(\ddot{{x}_{r}}+{\omega}^{2}{x}_{r}=-\gamma (t)\) avec \(\omega =\sqrt{\frac{k}{m}}=\sqrt{\frac{3E{I}_{z}}{m{l}^{3}}}\) la fréquence propre du système et \({x}_{r}\) le déplacement relatif du point \(B\) par rapport au point \(A\) . La solution est obtenue par intégration de l’intégrale de Duhamel [bib3]:

\({x}_{r}(t)=-\frac{m}{\omega}\underset{0}{\overset{t}{\int}}\gamma (t)\sin\omega (t-\tau )d\tau\)

2.2. Résultats de référence#

Déplacement relatif au point \(B\) .

Pour une accélération imposée triangulaire, on peut calculer l’intégrale de Duhamel analytiquement [bib3]:

\(t<{t}_{0}\) : \({x}_{r}=-\frac{{P}_{0}}{{\omega}^{2}{t}_{0}}(t-\frac{\sin\omega t}{\omega})\)

\({t}_{0}<t<2{t}_{0}\) : \({x}_{r}=-\frac{{P}_{0}}{{\omega}^{2}{t}_{0}}(2{t}_{0}-t-\frac{2\sin\omega (t-{t}_{0})}{\omega}-\frac{\sin\omega t}{\omega})\)

\({t}_{0}<t<2{t}_{0}\) : \({x}_{r}=-\frac{{P}_{0}}{{\omega}^{3}{t}_{0}}(2\sin\omega (t-{t}_{0})-\sin\omega (t-2{t}_{0})-\sin\omega t)\)

2.3. Incertitude sur la solution#

Aucune si l’on calcule l’intégrale de Duhamel analytiquement [bib3]. De l’ordre de la précision de la méthode d’intégration numérique employée pour calculer l’intégrale de Duhamel ([bib1], [bib2]): méthode de Simpson avec 40 points par période.

2.4. Références bibliographiques#

  1. R.W. Clough et J. Penzien : Dynamics of structures New York, Mac Graw-Hill, 1975, p.102‑105

  2. Guide VPCS AFNOR Technique- 1990

  3. J.S. Przemieniecki : Theorie of matrix structural analysis New York, MacGraw-Hill, 1968, p.351-357