Solution de référence
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Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence
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Le problème est traité par un modèle à un degré de liberté. Le poteau est considéré comme une poutre non amortie et non pesante élancée de rigidité :math:`k=3E{I}_{Z}/{l}^{\mathrm{3 }}=3,942{.10}^{\mathrm{7 }}N/m` . La superstructure située au sommet du poteau est modélisée par une masse ponctuelle :math:`m=43,8{10}^{\mathrm{3 }}\mathrm{kg}` .

Les deux cas de charge conduisent au calcul de la réponse d’un système à un degré de liberté soumis à une accélération :math:`\gamma (t)` de forme quelconque:

:math:`\ddot{{x}_{r}}+{\omega}^{2}{x}_{r}=-\gamma (t)` avec :math:`\omega =\sqrt{\frac{k}{m}}=\sqrt{\frac{3E{I}_{z}}{m{l}^{3}}}` la fréquence propre du système et :math:`{x}_{r}` le déplacement relatif du point :math:`B` par rapport au point :math:`A` . La solution est obtenue par intégration de l’intégrale de Duhamel [:ref:`bib3 <bib3>`]:

:math:`{x}_{r}(t)=-\frac{m}{\omega}\underset{0}{\overset{t}{\int}}\gamma (t)\sin\omega (t-\tau )d\tau`


Résultats de référence
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Déplacement relatif au point :math:`B` .

Pour une accélération imposée triangulaire, on peut calculer l’intégrale de Duhamel analytiquement [:ref:`bib3 <bib3>`]:

:math:`t<{t}_{0}`     :    :math:`{x}_{r}=-\frac{{P}_{0}}{{\omega}^{2}{t}_{0}}(t-\frac{\sin\omega t}{\omega})`

:math:`{t}_{0}<t<2{t}_{0}`     : :math:`{x}_{r}=-\frac{{P}_{0}}{{\omega}^{2}{t}_{0}}(2{t}_{0}-t-\frac{2\sin\omega (t-{t}_{0})}{\omega}-\frac{\sin\omega t}{\omega})`

:math:`{t}_{0}<t<2{t}_{0}`     : :math:`{x}_{r}=-\frac{{P}_{0}}{{\omega}^{3}{t}_{0}}(2\sin\omega (t-{t}_{0})-\sin\omega (t-2{t}_{0})-\sin\omega t)`


Incertitude sur la solution
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Aucune si l’on calcule l’intégrale de Duhamel analytiquement [:ref:`bib3 <bib3>`]. De l’ordre de la précision de la méthode d’intégration numérique employée pour calculer l’intégrale de Duhamel ([:ref:`bib1 <bib1>`], [:ref:`bib2 <bib2>`]): méthode de Simpson avec 40 points par période.


Références bibliographiques
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1.  R.W. Clough et J. Penzien : Dynamics of structures New York, Mac Graw-Hill, 1975, p.102‑105


2.  Guide VPCS AFNOR Technique- 1990


3.  J.S. Przemieniecki : Theorie of matrix structural analysis New York, MacGraw-Hill, 1968, p.351-357