2. Solution de référence

2.1. Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence

La solution de référence est celle donnée dans la fiche SDLL04/89 du guide VPCS qui présente la méthode de calcul de la façon suivante:

L’équation aux pulsations propres du système complet s’écrit :

\(\lambda {r}_{i}L\left[\frac{\sin({r}_{i}a)\sin({r}_{i}b)}{\sin({r}_{i}L)}-\frac{\mathit{sh}({r}_{i}a)\mathit{sh}({r}_{i}b)}{\mathit{sh}({r}_{i}L)}\right]=2({\omega}_{i}^{2}-{\omega}_{c}^{2})/{\omega}_{c}^{2}\)

avec :

\(\lambda =\frac{{m}_{e}}{\rho AL}\) \({r}_{i}^{4}={\omega}_{i}^{2}\frac{\rho A}{EI}\) \({\omega}_{C}=\frac{{k}_{e}}{{m}_{e}}\) \(a+b=L\)

En absence de système secondaire, \({k}_{e},{m}_{e}=0\) , on retrouve bien les fréquences propres de la poutre élancée sur deux appuis.

\({f}_{i}={i}^{2}\frac{\pi}{2}\frac{1}{{L}^{2}}\sqrt{\frac{\mathit{EI}}{\rho A}}={i}^{2}\frac{\pi}{2}\)

Quand le système secondaire est exactement accordé sur le premier mode de cette poutre, les nouvelles fréquences propres du système peuvent être obtenues par les formules approchées :

\({f}_{1,2}^{\mathrm{\ast }}=(1\pm 0.5\sqrt{\frac{{m}_{e}}{{M}_{1}}}){f}_{1}=(1\pm 0.5\sqrt{\lambda}){f}_{1}\) \({f}_{3}^{\mathrm{\ast }}\mathrm{\simeq }{f}_{2}\)

avec \({M}_{1}\) masse modale de la poutre sans système secondaire pour un mode propre normé à 1 au point \(D\) .

2.2. Résultats de référence

Les deux premières fréquences propres pour \(\lambda =0.\)

Les trois premières fréquences propres pour \(\lambda =0.001\) et \(\lambda =0.01\) .

2.3. Incertitude sur la solution

Inférieure à \(4\lambda \text{\%}\) pour les premiers modes si le système est accordé au premier mode.

2.4. Références bibliographiques

• NOUR-OMID, SACKMAN, KIUREGHIAN. Modal characterisation of equipment continous structure system. Journal of Sound and Vibration, V.88 n°4, p.459,472 (1983).