Solution de référence ===================== Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence -------------------------------------------------------- La solution de référence est celle donnée dans la fiche SDLL04/89 du guide VPCS qui présente la méthode de calcul de la façon suivante: L'équation aux pulsations propres du système complet s'écrit : :math:`\lambda {r}_{i}L\left[\frac{\sin({r}_{i}a)\sin({r}_{i}b)}{\sin({r}_{i}L)}-\frac{\mathit{sh}({r}_{i}a)\mathit{sh}({r}_{i}b)}{\mathit{sh}({r}_{i}L)}\right]=2({\omega}_{i}^{2}-{\omega}_{c}^{2})/{\omega}_{c}^{2}` avec : :math:`\lambda =\frac{{m}_{e}}{\rho AL}` :math:`{r}_{i}^{4}={\omega}_{i}^{2}\frac{\rho A}{EI}` :math:`{\omega}_{C}=\frac{{k}_{e}}{{m}_{e}}` :math:`a+b=L` En absence de système secondaire, :math:`{k}_{e},{m}_{e}=0` , on retrouve bien les fréquences propres de la poutre élancée sur deux appuis. :math:`{f}_{i}={i}^{2}\frac{\pi}{2}\frac{1}{{L}^{2}}\sqrt{\frac{\mathit{EI}}{\rho A}}={i}^{2}\frac{\pi}{2}` Quand le système secondaire est exactement accordé sur le premier mode de cette poutre, les nouvelles fréquences propres du système peuvent être obtenues par les formules approchées : :math:`{f}_{1,2}^{\mathrm{\ast }}=(1\pm 0.5\sqrt{\frac{{m}_{e}}{{M}_{1}}}){f}_{1}=(1\pm 0.5\sqrt{\lambda}){f}_{1}` :math:`{f}_{3}^{\mathrm{\ast }}\mathrm{\simeq }{f}_{2}` avec :math:`{M}_{1}` masse modale de la poutre sans système secondaire pour un mode propre normé à 1 au point :math:`D` . Résultats de référence ---------------------- Les deux premières fréquences propres pour :math:`\lambda =0.` Les trois premières fréquences propres pour :math:`\lambda =0.001` et :math:`\lambda =0.01` . Incertitude sur la solution --------------------------- Inférieure à :math:`4\lambda \text{\%}` pour les premiers modes si le système est accordé au premier mode. Références bibliographiques --------------------------- * NOUR-OMID, SACKMAN, KIUREGHIAN. Modal characterisation of equipment continous structure system. Journal of Sound and Vibration, V.88 n°4, p.459,472 (1983).