2. Solution de référence#
2.1. Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence#
La solution de référence est celle donnée dans la fiche SDLL02/89 du guide VPCS qui présente la méthode de calcul de la façon suivante:
Par la méthode de raideur dynamique, on montre que la poutre repliée admet des fréquences doubles, solution de :
\(\begin{array}{ccc}\cos(\lambda )=0& \mathrm{\Rightarrow }& {\lambda}_{i}=(\mathrm{2i}-1)\frac{\pi}{2}\\ {f}_{i}=\frac{1}{2\pi }\frac{{\lambda}_{i}^{2}}{{L}^{2}}\sqrt{\frac{{\mathit{EI}}_{z}}{\rho A}}& & i=1,2,\mathrm{...}\end{array}\)
Pour une section rectangulaire, on obtient :
\({f}_{i}={(\mathrm{2i}-1)}^{2}\pi \frac{R}{{\mathrm{8L}}^{2}}\sqrt{\frac{E}{12\rho }}\) \(i=1,2,\mathrm{...}\)
Cette formulation néglige les déformations d’effort tranchant et d’inertie de rotation (poutre d’Euler-Bernoulli).
Pour les modes propres, les formes sont données dans le guide VPCS. Ils sont normés à 1 ou –1 au point de plus grande amplitude. On a des résultats seulement pour les modes 1, 2, 3, 4, 7 et 8. Par exemple, les formes des deux premiers modes propres sont les suivantes :
Remarque:
Dans Code_Aster, quand une valeur propre est multiple, les modes propres associés à cette valeur propre, même s’ils sont normés et orthogonaux deux à deux, sont, a priori, imprévisibles. On ne sait pas, pour l’instant, tester la forme d’un mode multiple.
2.2. Résultats de référence#
Les résultats de référence sont les huit premières fréquences propres.
2.3. Incertitude sur la solution#
Il n’y a pas d’incertitude sur la solution car elle est analytique.
2.4. Références bibliographiques#
PIRANDA J. : Cours et Travaux Dirigés de Vibrations des Structures - Option Mécanique - Ecole Nationale Supérieure de Mécanique et Micromécanique - Laboratoire de Mécanique Appliquée - Besançon (France (1983).)