Solution de référence
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Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence
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La solution de référence est celle donnée dans la fiche SDLL02/89 du guide VPCS qui présente la méthode de calcul de la façon suivante:

Par la méthode de raideur dynamique, on montre que la poutre repliée admet des fréquences doubles, solution de :

:math:`\begin{array}{ccc}\cos(\lambda )=0& \mathrm{\Rightarrow }& {\lambda}_{i}=(\mathrm{2i}-1)\frac{\pi}{2}\\ {f}_{i}=\frac{1}{2\pi }\frac{{\lambda}_{i}^{2}}{{L}^{2}}\sqrt{\frac{{\mathit{EI}}_{z}}{\rho A}}& & i=1,2,\mathrm{...}\end{array}`

Pour une section rectangulaire, on obtient :

:math:`{f}_{i}={(\mathrm{2i}-1)}^{2}\pi \frac{R}{{\mathrm{8L}}^{2}}\sqrt{\frac{E}{12\rho }}` :math:`i=1,2,\mathrm{...}`

Cette formulation néglige les déformations d'effort tranchant et d'inertie de rotation (poutre d'Euler-Bernoulli).

Pour les modes propres, les formes sont données dans le guide VPCS. Ils sont normés à 1 ou –1 au point de plus grande amplitude. On a des résultats seulement pour les modes 1, 2, 3, 4, 7 et 8. Par exemple, les formes des deux premiers modes propres sont les suivantes :


.. image:: images/10002354000032BF000009336FCB87CA75261F4A.svg
    :width: 654
    :height: 118


.. _RefImage_10002354000032BF000009336FCB87CA75261F4A.svg:

Remarque:

Dans Code_Aster, quand une valeur propre est multiple, les modes propres associés à cette valeur propre, même s'ils sont normés et orthogonaux deux à deux, sont, a priori, imprévisibles. On ne sait pas, pour l'instant, tester la forme d'un mode multiple.


Résultats de référence
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Les résultats de référence sont les huit premières fréquences propres.


Incertitude sur la solution
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Il n'y a pas d'incertitude sur la solution car elle est analytique.


Références bibliographiques
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1.  PIRANDA J. : Cours et Travaux Dirigés de Vibrations des Structures - Option Mécanique - Ecole Nationale Supérieure de Mécanique et Micromécanique - Laboratoire de Mécanique Appliquée - Besançon (France (1983).)