2. Solution de référence#

2.1. Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence#

La recherche de la réponse transitoire de ce problème à amortissement non proportionnel, et où les modes rigides ne sont pas fixés, peut être menée par intégration numérique dans l’espace réel :

_images/Object_4.svg

.

Pour cela, la réponse a été calculée avec deux codes industriels :

  • PERMAS :

Schéma d’intégration de Newmark (\(\alpha =0,25\) , \(\delta =0,5\) ), \(\Delta t={10}^{-\mathrm{4s}}\) ,

Schéma d’intégration avec interpolation cubique d’Hermite [bib1], \(\Delta t={10}^{-\mathrm{4s}}\) ,

  • ABAQUS :

Schéma d’intégration de Hilber-Hughes-Taylor [bib2] (\(\alpha =-0,05\) ), \(\Delta t={10}^{-\mathrm{4s}}\) ,

et la méthode d’intégration de \(\beta\) -Newmark améliorée [bib3] :

_images/Object_5.svg

où \(n\) , \(n+1\) , \(n+2\) désignent respectivement les calculs effectués aux temps \({t}_{n}\) , \({t}_{n+1}={t}_{n}+\Delta t\) et \({t}_{n+2}={t}_{n}+2\Delta t\) où \(\Delta t\) est l’incrément de temps retenu.

Pour démarrer, on prend :

  • _images/Object_6.svg
  • _images/Object_7.svg

Le pas de temps adopté est \(\Delta t={10}^{-\mathrm{5s}}\) .

2.2. Résultats de référence#

Déplacement, vitesse et accélération du point \({P}_{3}\) .

Différentiel de déplacement entre les points \({P}_{3}\) et \({P}_{1}\) .

2.3. Incertitude sur la solution#

Moyenne de solutions numériques.

2.4. Références bibliographiques#

  1. J.H. ARGYRIS, P.C. DUNNE and T. ANGELOPOULOS «Non-linear oscillations using the finite element technique» Comp. Meth. Appl. Mech. Engng., Vol.2, 1972, pp. 203-254

  2. H.M. HILBER, T.J.R. HUGHES and R.L. TAYLOR «Improved numerical dissipation for time integration algorithms in structural dynamics» Earthquake Engineering and Structural Dynamics, Vol.5, 1977, pp. 283-292

  3. N.M. NEWMARK «A method of computation for structural dynamics» Proceeding ASCE J.Eng.Mech. Div E-3, July 1959, pp. 67-94