Solution de référence
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Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence
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La recherche de la réponse transitoire de ce problème à amortissement non proportionnel, et où les modes rigides ne sont pas fixés, peut être menée par intégration numérique dans l’espace réel :


.. image:: images/Object_4.svg
    :width: 240
    :height: 25


.. _RefImage_Object_4.svg:

.

Pour cela, la réponse a été calculée avec deux codes industriels :


.. csv-table::

    "*   PERMAS :", "Schéma d’intégration de Newmark (:math:`\alpha =0,25` , :math:`\delta =0,5` ), :math:`\Delta t={10}^{-\mathrm{4s}}` ,"
    "", "Schéma d’intégration avec interpolation cubique d’Hermite [:ref:`bib1 <bib1>`], :math:`\Delta t={10}^{-\mathrm{4s}}` ,"
    "", ""
    "*   ABAQUS :", "Schéma d’intégration de Hilber-Hughes-Taylor [:ref:`bib2 <bib2>`] (:math:`\alpha =-0,05` ), :math:`\Delta t={10}^{-\mathrm{4s}}` ,"


et la méthode d’intégration de :math:`\beta` -Newmark améliorée [:ref:`bib3 <bib3>`] :


.. image:: images/Object_5.svg
    :width: 240
    :height: 25


.. _RefImage_Object_5.svg:

où :math:`n` , :math:`n+1` , :math:`n+2` désignent respectivement les calculs effectués aux temps :math:`{t}_{n}` , :math:`{t}_{n+1}={t}_{n}+\Delta t` et :math:`{t}_{n+2}={t}_{n}+2\Delta t` où :math:`\Delta t` est l’incrément de temps retenu.

Pour démarrer, on prend :


*

    .. image:: images/Object_6.svg
        :width: 240
        :height: 25


    .. _RefImage_Object_6.svg:


*

    .. image:: images/Object_7.svg
        :width: 240
        :height: 25


    .. _RefImage_Object_7.svg:

Le pas de temps adopté est :math:`\Delta t={10}^{-\mathrm{5s}}` .


Résultats de référence
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Déplacement, vitesse et accélération du point :math:`{P}_{3}` .

Différentiel de déplacement entre les points :math:`{P}_{3}` et :math:`{P}_{1}` .


Incertitude sur la solution
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Moyenne de solutions numériques.


Références bibliographiques
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1.  J.H. ARGYRIS, P.C. DUNNE and T. ANGELOPOULOS «Non-linear oscillations using the finite element technique» Comp. Meth. Appl. Mech. Engng., Vol.2, 1972, pp. 203-254


2.  H.M. HILBER, T.J.R. HUGHES and R.L. TAYLOR «Improved numerical dissipation for time integration algorithms in structural dynamics» Earthquake Engineering and Structural Dynamics, Vol.5, 1977, pp. 283-292


3.  N.M. NEWMARK «A method of computation for structural dynamics» Proceeding ASCE J.Eng.Mech. Div E-3, July 1959, pp. 67-94