2. Solution de référence#

2.1. Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence#

On calcule la réponse spectrale par superposition modale d’un système masse ressort soumis à deux excitations distinctes. On détermine le déplacement des masses et les réactions d’appui aux nœuds \(\mathit{NO1}\) et \(\mathit{NO4}\) suivant l’axe \(x\) .

On calcule analytiquement:

  • les fréquences propres \({f}_{i}\) ,

  • les vecteurs propres associés \({\varphi}_{\text{Ni}}\) normalisés par rapport à la masse modale,

  • les modes statiques d’appuis \({\psi}_{j}\) du système,

  • les facteurs de participation modale \({P}_{ij}\) relatif aux appuis,

  • \({\mathrm{Rm}}_{ij}\) le maximum de la réponse de chaque mode à partir des spectres d’excitation,

  • \({\text{Re}}_{j}\) la contribution du mouvement d’entraînement de chaque appui à partir des déplacements différentiels,

  • \({\mathrm{Rc}}_{j}\) le terme de correction statique,

  • les composantes primaires et secondaires de la réponse en fonction des régles de cumul adoptées.

2.2. Résultats de référence#

  • matrice de rigidité \(K\)

\(K=\left[\begin{array}{cccc}k& -k& 0& 0\\ -k& \mathrm{2k}& -k& 0\\ 0& -k& \mathrm{11k}& -\mathrm{10k}\\ 0& 0& -\mathrm{10k}& \mathrm{10k}\end{array}\right]\)

\({K}^{p}=\left[\begin{array}{cccc}\mathrm{2k}& -k& -k& 0\\ -k& \mathrm{11k}& 0& -\mathrm{10k}\\ -k& 0& k& 0\\ 0& -\mathrm{10k}& 0& \mathrm{10k}\end{array}\right]\)

matrice partitionnée degrés de liberté de structure 2, 3, degrés de liberté de support 1, 4

\({K}^{p}=\left[\begin{array}{cc}{k}_{xx}& {k}_{\mathit{xs}}\\ {k}_{\mathit{sx}}& {k}_{\mathit{ss}}\end{array}\right]\) \({k}_{xx}=\left[\begin{array}{cc}\mathrm{2k}& -k\\ -k& \mathrm{11k}\end{array}\right]\) \({k}_{\mathit{xs}}=\left[\begin{array}{cc}-k& 0\\ 0& -\mathrm{10k}\end{array}\right]\)

\({k}_{\mathit{sx}}=\left[\begin{array}{cc}-k& 0\\ 0& -\mathrm{10k}\end{array}\right]\) \({k}_{\mathit{ss}}=\left[\begin{array}{cc}k& 0\\ 0& \mathrm{10k}\end{array}\right]\)

  • matrice de masse \(M\)

\(M=\left[\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 0\\ 0& m& 0& 0\\ 0& 0& m& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]\)

  • calcul modal en base encastrée

\({k}_{xx}=\left[\begin{array}{cc}\mathrm{2k}& -k\\ -k& \mathrm{11k}\end{array}\right]\)

\(({k}_{xx}-{\lambda}_{i}{m}_{xx}{\varphi}_{i})=0\) \({\lambda}_{i}={\omega}_{i}^{2}\)

soit :math:`` \({\lambda}_{2}=\frac{k}{\mathrm{2m}}(13+\sqrt{85})\)

  1. fréquences propres:

soit :math:`` \({f}_{2}=\frac{{\omega}_{2}}{2\pi }\)

  1. modes propres non normés:

soit \({\varphi}_{1}=(\begin{array}{c}0\\ 1\\ (-9+\sqrt{85})/2\\ 0\end{array})\) \({\varphi}_{2}=(\begin{array}{c}0\\ -1\\ (9+\sqrt{85})/2\\ 0\end{array})\)

  • masses modales généralisées \({\mu}_{i}={}^{T}\varphi _{i}M{\varphi}_{i}\) :

soit :math:`` \({\mu}_{2}=\frac{m}{4}(170+18\sqrt{85})\)

  1. modes propres normés à la masse modale généralisée unitaire \({\varphi}_{\text{Ni}}\) :

soit \({\varphi}_{\mathrm{N1}}=\frac{{\varphi}_{1}}{\sqrt{{\mu}_{1}}}\) \({\varphi}_{\mathrm{N2}}=\frac{{\varphi}_{2}}{\sqrt{{\mu}_{2}}}\)

  • réactions modales \({\mathrm{Fm}}_{i}\) :

\({r}_{i}={k}_{\mathrm{sx}}{\varphi}_{\mathrm{Nis}}\) \({\varphi}_{\text{Ni}}^{p}=(\begin{array}{c}{\varphi}_{\text{Nix}}\\ {\varphi}_{\text{Nis}}\end{array})\) \({\mathrm{Fm}}_{i}^{p}=(\begin{array}{c}0\\ {r}_{i}\end{array})\)

soit \({\mathrm{Fm}}_{1}=\frac{k}{\sqrt{{\mu}_{1}}}(\begin{array}{c}-1\\ 0\\ 0\\ 5(9-\sqrt{85})\end{array})\) \({\mathit{Fm}}_{2}=\frac{k}{\sqrt{{\mu}_{2}}}(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\\ -5(9+\sqrt{85})\end{array})\)

  • facteurs de participation modale \({P}_{ij}={}^{T}\varphi _{i}M{\psi}_{j}\) :

  • contribution du mode dynamique 1 au mouvement imposé au nœud \(\mathit{NO1}\) :

\({P}_{11}={}^{T}\varphi _{1}M{\psi}_{1}=\frac{m}{42\sqrt{{\mu}_{1}}}(13+\sqrt{85})\)

  • contribution du mode dynamique 1 au mouvement imposé au nœud \(\mathit{NO4}\) :

\({P}_{12}={}^{T}\varphi _{1}M{\psi}_{2}=\frac{10m}{21\sqrt{{\mu}_{1}}}(-8+\sqrt{85})\)

  • contribution du mode dynamique 2 au mouvement imposé au nœud \(\mathit{NO1}\) :

\({P}_{21}={}^{T}\varphi _{2}M{\psi}_{1}=\frac{m}{42\sqrt{{\mu}_{2}}}(-13+\sqrt{85})\)

  • contribution du mode dynamique 2 au mouvement imposé au nœud \(\mathit{NO4}\) :

\({P}_{22}={}^{T}\varphi _{2}M{\psi}_{2}=\frac{10m}{21\sqrt{{\mu}_{2}}}(8+\sqrt{85})\)

  • facteur de participation du mode dynamique 1 dans la direction \(X\) :

\({P}_{\mathrm{1X}}={P}_{11}+{P}_{12}\)

  • facteur de participation du mode dynamique 2 dans la direction \(X\) :

\({P}_{\mathrm{2X}}={P}_{21}+{P}_{22}\)

  • modes statiques d’appuis \({\psi}_{j}\)

  • solution statique à un déplacement unitaire du nœud \(\mathit{NO1}\) :

déplacements: \({\psi}_{1}=\frac{1}{21}(\begin{array}{c}21\\ 11\\ 1\\ 0\end{array})\) réactions nodales: \({F}_{1}=K{\psi}_{1}=\frac{10}{21}k(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\\ -1\end{array})\)

  • solution statique à un déplacement unitaire du nœud \(\mathit{NO4}\) :

déplacements: \({\psi}_{2}=\frac{1}{21}(\begin{array}{c}0\\ 10\\ 20\\ 21\end{array})\) réactions nodales: \({\mathit{Fs}}_{2}=K{\psi}_{2}=\frac{10}{21}k(\begin{array}{c}-1\\ 0\\ 0\\ 1\end{array})\)

  • réponse du mode \(i\) au mouvement de l’appui \(j\)

\({\mathit{Rm}}_{ij}={r}_{i}{P}_{ij}\frac{{A}_{ij}}{{\omega}_{i}^{2}}\) avec \({r}_{i}={\varphi}_{\text{Ni}}\) ou \({\mathit{Fm}}_{i}\)

  • correction statique

  • modes statiques \({u}_{j}\) solution de \(K{u}_{j}=M{\psi}_{j}\) :

déplacements: \({u}_{1}=\frac{m}{441k}(\begin{array}{c}0\\ 122\\ 13\\ 0\end{array})\) réactions nodales: \(F{u}_{1}=\frac{m}{441}(\begin{array}{c}-122\\ 231\\ 21\\ -130\end{array})\)

déplacements: \({u}_{2}=\frac{m}{441k}(\begin{array}{c}0\\ 130\\ 50\\ 0\end{array})\) réactions nodales: \(F{u}_{2}=\frac{m}{441}(\begin{array}{c}-130\\ 210\\ 420\\ -500\end{array})\)

  • correction statique relative au mouvement de l’appui \(j\) si le mode 2 n’est pas retenu:

\({\mathrm{Rc}}_{j}=({\mathrm{ru}}_{j}-\frac{{P}_{\mathrm{1j}}{r}_{1}}{{\omega}_{1}^{2}}){A}_{\mathrm{1j}}\) avec: \({\mathrm{ru}}_{j}={u}_{j}\mathrm{ou}{\mathrm{Fu}}_{j}\) et \({r}_{1}={\varphi}_{\mathrm{N1}}\mathrm{ou}{\mathrm{Fm}}_{1}\)

  • contribution de l’appui \(j\) au mouvement d’entraînement

\(R{e}_{j}={r}_{j}{D}_{j}\) avec \({r}_{j}={\psi}_{j}\mathrm{ou}{\mathrm{Fs}}_{j}\)

Ces calculs analytiques sont décrits dans le fichier Matlab sdld30a.55.

2.3. Incertitude sur la solution#

Aucune (solution analytique exacte).