Solution de référence
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Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence
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On calcule la réponse spectrale par superposition modale d’un système masse ressort soumis à deux excitations distinctes. On détermine le déplacement des masses et les réactions d’appui aux nœuds :math:`\mathit{NO1}` et :math:`\mathit{NO4}` suivant l’axe :math:`x` .

On calcule analytiquement:


*   les fréquences propres :math:`{f}_{i}` ,


*   les vecteurs propres associés :math:`{\varphi}_{\text{Ni}}` normalisés par rapport à la masse modale,


*   les modes statiques d’appuis :math:`{\psi}_{j}` du système,


*   les facteurs de participation modale :math:`{P}_{ij}` relatif aux appuis,


*   :math:`{\mathrm{Rm}}_{ij}` le maximum de la réponse de chaque mode à partir des spectres d’excitation,


*   :math:`{\text{Re}}_{j}` la contribution du mouvement d’entraînement de chaque appui à partir des déplacements différentiels,


*   :math:`{\mathrm{Rc}}_{j}` le terme de correction statique,


*   les composantes primaires et secondaires de la réponse en fonction des régles de cumul adoptées.


Résultats de référence
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* **matrice de rigidité** :math:`K`

:math:`K=\left[\begin{array}{cccc}k& -k& 0& 0\\ -k& \mathrm{2k}& -k& 0\\ 0& -k& \mathrm{11k}& -\mathrm{10k}\\ 0& 0& -\mathrm{10k}& \mathrm{10k}\end{array}\right]`

:math:`{K}^{p}=\left[\begin{array}{cccc}\mathrm{2k}& -k& -k& 0\\ -k& \mathrm{11k}& 0& -\mathrm{10k}\\ -k& 0& k& 0\\ 0& -\mathrm{10k}& 0& \mathrm{10k}\end{array}\right]`

matrice partitionnée degrés de liberté de structure 2, 3, degrés de liberté de support 1, 4

:math:`{K}^{p}=\left[\begin{array}{cc}{k}_{xx}& {k}_{\mathit{xs}}\\ {k}_{\mathit{sx}}& {k}_{\mathit{ss}}\end{array}\right]`         :math:`{k}_{xx}=\left[\begin{array}{cc}\mathrm{2k}& -k\\ -k& \mathrm{11k}\end{array}\right]`             :math:`{k}_{\mathit{xs}}=\left[\begin{array}{cc}-k& 0\\ 0& -\mathrm{10k}\end{array}\right]`

:math:`{k}_{\mathit{sx}}=\left[\begin{array}{cc}-k& 0\\ 0& -\mathrm{10k}\end{array}\right]`             :math:`{k}_{\mathit{ss}}=\left[\begin{array}{cc}k& 0\\ 0& \mathrm{10k}\end{array}\right]`


* **matrice de masse** :math:`M`

:math:`M=\left[\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 0\\ 0& m& 0& 0\\ 0& 0& m& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]`


* **calcul modal en base encastrée**

 :math:`{k}_{xx}=\left[\begin{array}{cc}\mathrm{2k}& -k\\ -k& \mathrm{11k}\end{array}\right]`

:math:`({k}_{xx}-{\lambda}_{i}{m}_{xx}{\varphi}_{i})=0`         :math:`{\lambda}_{i}={\omega}_{i}^{2}`

soit :math:`` :math:`{\lambda}_{2}=\frac{k}{\mathrm{2m}}(13+\sqrt{85})`


1.  fréquences propres:

soit :math:`` :math:`{f}_{2}=\frac{{\omega}_{2}}{2\pi }`


1.  modes propres non normés:

soit :math:`{\varphi}_{1}=(\begin{array}{c}0\\ 1\\ (-9+\sqrt{85})/2\\ 0\end{array})` :math:`{\varphi}_{2}=(\begin{array}{c}0\\ -1\\ (9+\sqrt{85})/2\\ 0\end{array})`


*   masses modales généralisées :math:`{\mu}_{i}={}^{T}\varphi _{i}M{\varphi}_{i}` :

soit :math:``         :math:`{\mu}_{2}=\frac{m}{4}(170+18\sqrt{85})`


1.  modes propres normés à la masse modale généralisée unitaire :math:`{\varphi}_{\text{Ni}}` :

soit :math:`{\varphi}_{\mathrm{N1}}=\frac{{\varphi}_{1}}{\sqrt{{\mu}_{1}}}` :math:`{\varphi}_{\mathrm{N2}}=\frac{{\varphi}_{2}}{\sqrt{{\mu}_{2}}}`


*   réactions modales :math:`{\mathrm{Fm}}_{i}` :

:math:`{r}_{i}={k}_{\mathrm{sx}}{\varphi}_{\mathrm{Nis}}`         :math:`{\varphi}_{\text{Ni}}^{p}=(\begin{array}{c}{\varphi}_{\text{Nix}}\\ {\varphi}_{\text{Nis}}\end{array})`         :math:`{\mathrm{Fm}}_{i}^{p}=(\begin{array}{c}0\\ {r}_{i}\end{array})`

soit :math:`{\mathrm{Fm}}_{1}=\frac{k}{\sqrt{{\mu}_{1}}}(\begin{array}{c}-1\\ 0\\ 0\\ 5(9-\sqrt{85})\end{array})`         :math:`{\mathit{Fm}}_{2}=\frac{k}{\sqrt{{\mu}_{2}}}(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\\ -5(9+\sqrt{85})\end{array})`


*   facteurs de participation modale :math:`{P}_{ij}={}^{T}\varphi _{i}M{\psi}_{j}` :


*   contribution du mode dynamique 1 au mouvement imposé au nœud :math:`\mathit{NO1}` :

:math:`{P}_{11}={}^{T}\varphi _{1}M{\psi}_{1}=\frac{m}{42\sqrt{{\mu}_{1}}}(13+\sqrt{85})`


*   contribution du mode dynamique 1 au mouvement imposé au nœud :math:`\mathit{NO4}` :

:math:`{P}_{12}={}^{T}\varphi _{1}M{\psi}_{2}=\frac{10m}{21\sqrt{{\mu}_{1}}}(-8+\sqrt{85})`


*   contribution du mode dynamique 2 au mouvement imposé au nœud :math:`\mathit{NO1}` :

:math:`{P}_{21}={}^{T}\varphi _{2}M{\psi}_{1}=\frac{m}{42\sqrt{{\mu}_{2}}}(-13+\sqrt{85})`


*   contribution du mode dynamique 2 au mouvement imposé au nœud :math:`\mathit{NO4}` :

:math:`{P}_{22}={}^{T}\varphi _{2}M{\psi}_{2}=\frac{10m}{21\sqrt{{\mu}_{2}}}(8+\sqrt{85})`


*   facteur de participation du mode dynamique 1 dans la direction :math:`X` :

:math:`{P}_{\mathrm{1X}}={P}_{11}+{P}_{12}`


*   facteur de participation du mode dynamique 2 dans la direction :math:`X` :

:math:`{P}_{\mathrm{2X}}={P}_{21}+{P}_{22}`


* **modes statiques d’appuis** :math:`{\psi}_{j}`


*   solution statique à un déplacement unitaire du nœud :math:`\mathit{NO1}` :

déplacements: :math:`{\psi}_{1}=\frac{1}{21}(\begin{array}{c}21\\ 11\\ 1\\ 0\end{array})` réactions nodales: :math:`{F}_{1}=K{\psi}_{1}=\frac{10}{21}k(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\\ -1\end{array})`


*   solution statique à un déplacement unitaire du nœud :math:`\mathit{NO4}` :

déplacements: :math:`{\psi}_{2}=\frac{1}{21}(\begin{array}{c}0\\ 10\\ 20\\ 21\end{array})` réactions nodales: :math:`{\mathit{Fs}}_{2}=K{\psi}_{2}=\frac{10}{21}k(\begin{array}{c}-1\\ 0\\ 0\\ 1\end{array})`


* **réponse du mode** :math:`i` **au mouvement de l’appui** :math:`j`

:math:`{\mathit{Rm}}_{ij}={r}_{i}{P}_{ij}\frac{{A}_{ij}}{{\omega}_{i}^{2}}` avec :math:`{r}_{i}={\varphi}_{\text{Ni}}` ou :math:`{\mathit{Fm}}_{i}`


* **correction statique**


*   modes statiques :math:`{u}_{j}` solution de :math:`K{u}_{j}=M{\psi}_{j}` :

déplacements: :math:`{u}_{1}=\frac{m}{441k}(\begin{array}{c}0\\ 122\\ 13\\ 0\end{array})` réactions nodales: :math:`F{u}_{1}=\frac{m}{441}(\begin{array}{c}-122\\ 231\\ 21\\ -130\end{array})`

déplacements: :math:`{u}_{2}=\frac{m}{441k}(\begin{array}{c}0\\ 130\\ 50\\ 0\end{array})` réactions nodales: :math:`F{u}_{2}=\frac{m}{441}(\begin{array}{c}-130\\ 210\\ 420\\ -500\end{array})`


*   correction statique relative au mouvement de l’appui :math:`j` si le mode 2 n’est pas retenu:

:math:`{\mathrm{Rc}}_{j}=({\mathrm{ru}}_{j}-\frac{{P}_{\mathrm{1j}}{r}_{1}}{{\omega}_{1}^{2}}){A}_{\mathrm{1j}}` avec: :math:`{\mathrm{ru}}_{j}={u}_{j}\mathrm{ou}{\mathrm{Fu}}_{j}` et :math:`{r}_{1}={\varphi}_{\mathrm{N1}}\mathrm{ou}{\mathrm{Fm}}_{1}`


* **contribution de l’appui** :math:`j` **au mouvement d’entraînement**

:math:`R{e}_{j}={r}_{j}{D}_{j}` avec :math:`{r}_{j}={\psi}_{j}\mathrm{ou}{\mathrm{Fs}}_{j}`

Ces calculs analytiques sont décrits dans le fichier Matlab sdld30a.55.


Incertitude sur la solution
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Aucune (solution analytique exacte).