2. Solution de référence#
2.1. Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence#
Le système d’équations différentielles du second ordre couplées est de la forme :
\(M\ddot{u}+C\dot{u}+Ku=F\)
avec \(M=\left[\begin{array}{ccccc}10& & & & \\ & 10& & & \\ & & .& & \\ & & & & 10\end{array}\right]\) \(C=50\left[\begin{array}{cccccc}2& -1& & & & \\ -1& 2& -1& & & \\ & -1& 2& .& & \\ & & .& .& .& \\ & & & .& .& -1\\ & & & & -1& 2\end{array}\right]\)
\(K={10}^{+5}\left[\begin{array}{cccccc}2& -1& & & & \\ -1& 2& -1& & & \\ & -1& 2& .& & \\ & & .& .& .& \\ & & & .& .& -1\\ & & & & -1& 2\end{array}\right]\)
La solution \(\omega\) à une excitation harmonique \(F={F}_{0}{e}^{j\omega t}({j}^{2}=-1)\) est de la forme \(u={u}_{0}{e}^{j\omega t}\) , ce qui conduit à : \((K-M{\omega}^{2}+j\omega C){u}_{0}={F}_{0}\)
Ce système peut être résolu pour tout \(\omega\) , soit directement, soit en utilisant la transformation modale à partir des modes propres réels obtenus par le système conservatif associé \((K-M{\omega}^{2})\phi =0\) .
Il admet \(n\) solutions propres (8 dans ce cas) \({\omega}_{i}^{2}\) et vecteurs associés \({\phi }_{i}\) regroupés dans la matrice spectrale \(\Lambda =[{\omega}_{i}^{2}]\) et la matrice modale \(\Phi =[{\phi }_{i}]\) .
La transformation modale consiste à écrire :
ce qui conduit à :
\(\left[\Lambda -{\omega}^{2}I+j\omega \xi \right]q={}^{t}\Phi {F}_{0}\)
\(I\) est l’identité,
ici \(\xi\) est diagonale \(\xi =\left[{\xi}_{ii}\right]\) car l’amortissement est proportionnel \((C=\alpha K)\) .
La réponse s’écrit : \({u}_{0}=\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma}}\frac{{\phi }_{i}^{t}{\phi }_{i}}{{\omega}_{i}^{2}-{\omega}^{2}+j\omega {\xi}_{ii}}{F}_{0}\)
On obtient la solution exacte en prenant tous les modes propres.
On en déduit : \(\dot{{u}_{0}}=j\omega {u}_{0}\) et \(\ddot{{u}_{0}}=-{\omega}^{2}{u}_{0}\)
2.2. Résultats de référence#
Déplacement selon \(x\) du point \({P}_{4}\) pour certaines fréquences.
2.3. Incertitude sur la solution#
Solution semi-analytique.
2.4. Référence bibliographique#
PIRANDA: Notice d’utilisation du logiciel d’analyse modale MODAN - Version 0.2 (1990). Laboratoire de Mécanique Appliquée - Université de Franche Comté - Besançon (France).