Solution de référence
=====================


Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence
--------------------------------------------------------

Le système d'équations différentielles du second ordre couplées est de la forme :

:math:`M\ddot{u}+C\dot{u}+Ku=F`

avec :math:`M=\left[\begin{array}{ccccc}10& & & & \\ & 10& & & \\ & & .& & \\ & & & & 10\end{array}\right]` :math:`C=50\left[\begin{array}{cccccc}2& -1& & & & \\ -1& 2& -1& & & \\ & -1& 2& .& & \\ & & .& .& .& \\ & & & .& .& -1\\ & & & & -1& 2\end{array}\right]`

:math:`K={10}^{+5}\left[\begin{array}{cccccc}2& -1& & & & \\ -1& 2& -1& & & \\ & -1& 2& .& & \\ & & .& .& .& \\ & & & .& .& -1\\ & & & & -1& 2\end{array}\right]`

La solution :math:`\omega` à une excitation harmonique :math:`F={F}_{0}{e}^{j\omega t}({j}^{2}=-1)` est de la forme :math:`u={u}_{0}{e}^{j\omega t}` , ce qui conduit à : :math:`(K-M{\omega}^{2}+j\omega C){u}_{0}={F}_{0}`

Ce système peut être résolu pour tout :math:`\omega` , soit directement, soit en utilisant la transformation modale à partir des modes propres réels obtenus par le système conservatif associé :math:`(K-M{\omega}^{2})\phi =0` .

Il admet :math:`n` solutions propres (8 dans ce cas) :math:`{\omega}_{i}^{2}` et vecteurs associés :math:`{\phi }_{i}` regroupés dans la matrice spectrale :math:`\Lambda =[{\omega}_{i}^{2}]` et la matrice modale :math:`\Phi =[{\phi }_{i}]` .

La transformation modale consiste à écrire :

.. image:: images/Object_13.svg
    :width: 61
    :height: 19


.. _RefImage_Object_13.svg:

ce qui conduit à :

:math:`\left[\Lambda -{\omega}^{2}I+j\omega \xi \right]q={}^{t}\Phi {F}_{0}`

:math:`I` est l'identité,

ici :math:`\xi` est diagonale :math:`\xi =\left[{\xi}_{ii}\right]` car l'amortissement est proportionnel :math:`(C=\alpha K)` .

La réponse s'écrit : :math:`{u}_{0}=\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma}}\frac{{\phi }_{i}^{t}{\phi }_{i}}{{\omega}_{i}^{2}-{\omega}^{2}+j\omega {\xi}_{ii}}{F}_{0}`

On obtient la solution exacte en prenant tous les modes propres.

On en déduit : :math:`\dot{{u}_{0}}=j\omega {u}_{0}` et :math:`\ddot{{u}_{0}}=-{\omega}^{2}{u}_{0}`


Résultats de référence
----------------------

Déplacement selon :math:`x` du point :math:`{P}_{4}` pour certaines fréquences.


Incertitude sur la solution
---------------------------

Solution semi-analytique.


Référence bibliographique
-------------------------


1.  J. PIRANDA: Notice d'utilisation du logiciel d'analyse modale MODAN - Version 0.2 (1990). Laboratoire de Mécanique Appliquée - Université de Franche Comté - Besançon (France).