2. Solution de référence#
2.1. Méthode de calcul#
La solution de référence est analytique.
Soit \(M(x,y,z)\) un point de l’espace, on lui impose une translation \(T\) de vecteur \((\mathit{tx},\mathit{ty},\mathit{tz})\) , et une rotation \(R\) d’angle \(\alpha\) (en radians) dont l’axe passe par \(P(\mathit{px},\mathit{py},\mathit{pz})\) et a pour direction \(D(\mathit{dx},\mathit{dy},\mathit{dz})\) .
Alors \(M\) devient \({M}_{T}\) après la translation: \({M}_{T}(x+\mathit{tx},y+\mathit{ty},z+\mathit{tz})\) .
\({M}_{T}\) devient \({M}_{\mathit{TR}}\) après la rotation:
\({M}_{\mathit{TR}}=P+\cos\alpha \cdot P{M}_{T}+(1-\cos\alpha )\cdot ({\mathit{PM}}_{T}\cdot D)\cdot D+\sin\alpha \cdot (D\mathrm{\wedge }{\mathit{PM}}_{T})\)
avec \({M}_{T}=M+T\)
La mise à l’échelle d’un facteur ech, donne:
\({M}_{\mathit{TRE}}=\mathit{ech}\cdot {M}_{\mathit{TR}}\)
La fonctionnalité de changement de base attend en entrée la donnée par l’utilisateur de deux vecteurs orthogonaux en 3D (un seul vecteur en 2D). On vient compléter ces données afin de générer une base orthogonale directe, en 3D ou en 2D. Des tests sont effectués afin de vérifier si les données d’entrée permettront de définir une base orthogonale directe. Une normalisation des vecteurs de la base est ensuite effectuée.
En 3D, on attend donc la donnée de \(U\) et \(V\) , les deux premiers vecteurs de la nouvelle base:
\(W(x,y,z)=U(x,y,z)\mathrm{\wedge }V(x,y,z)\)
\(\mathrm{\Rightarrow }B=(U,V,W)\) : matrice formée par les vecteurs de base
\(M(U,V,W)={B}^{T}M(x,y,z)\)
En 2D, on génère le second vecteur de la base par rotation de 90° du vecteur saisi par l’utilisateur.
Ce changement de base peut être combiné avec une mise à l’échelle et une translation, par exemple.
La programmation de ces transformations se fait différemment en 3D et en 2D, de manière à optimiser chacun de ces deux cas.
2.2. Grandeurs et résultats de référence#
On va contrôler les nouvelles coordonnées des point \(\mathit{P1}\) , \(\mathit{P7}\) et \(\mathit{P8}\) en 3D (\(\mathit{P1}\) , \(\mathit{P3}\) et \(\mathit{P4}\) en 2D).
2.3. Incertitudes sur la solution#
Les incertitudes viennent de la précision numérique dans Code_Aster (dépendance de la plate-forme) et dans le calcul de la solution analytique de référence. On peut donc envisager un critère de précision relatif de l’ordre de \(1.E-13\) dans les tests.
2.4. Références bibliographiques#
Sans usage.