4. Mot clef facteur MAZARS#
Le modèle de comportement de Mazars est un modèle de comportement élastique endommageable permettant de décrire le comportement adoucissant du béton. Il distingue le comportement en traction et en compression.
4.1. Opérande CODIFICATION#
La commande defi_mater_gc peut utiliser des règles de l’art ou des conseils issus des codifications pour déterminer les paramètres de la loi de comportement MAZARS.
♦ CODIFICATION = ’BAEL91’|’EC2’|’ESSAI’
’BAEL91’: indique que les paramètres utilisés dans la définition des matériaux sont issus de la codification BAEL1991.
’EC2’: indique que les paramètres utilisés dans la définition des matériaux sont issus de la codification EUROCODE2.
’ESSAI’ :indique que les paramètres utilisés dans la définition des matériaux viennent d’essai.
Par exemple, selon le BAEL 1991, pour le matériau béton connaissant sa résistance caractéristique en compression fcj, sa résistance en traction peut être estimée par: \(\mathit{FTJ}=0.6+0.06\mathit{FCJ}\) où FTJ et FCJ sont en \(\mathit{MPa}\) .
4.1.1. Cas où CODIFICATION=’BAEL91’#
Les paramètres utilisés dans la définition des matériaux sont issus de la codification BAEL1991.
♦ unite_CONTRAINTE
Unité de contrainte du problème [ \(\mathit{MPa}\) | \(\mathit{Pa}\) ]: Méga-Pascal ou Pascal. La saisie de cet opérande est obligatoire, car les formules utilisées dans la suite nécessite de savoir si les paramètres matériaux sont en \(\mathit{Pa}\) ou \(\mathit{MPa}\) . Les paramètres matériaux qui sont renvoyés par la commande sont dans le même système d’unité. UNITE_CONTRAINTE doit donc être compatible avec les unités de l’étude..
\(\mathit{Pa}\) : les paramètres matériaux sont homogènes à des \(\mathit{Pa}\) .
\(\mathit{MPa}\) : les paramètres matériaux sont homogènes à des \(\mathit{MPa}\) .
♦ FCJ
Contrainte au pic en compression, en \(\mathit{Pa}\) ou \(\mathit{MPa}\) , suivant la valeur de UNITE_CONTRAINTE.
4.1.2. Cas où CODIFICATION=’EC2’#
♦ unite_CONTRAINTE
Unité de contrainte du problème \(\mathit{MPa}\) ou \(\mathit{Pa}\) : Méga-Pascal ou Pascal. La saisie de cet opérande est obligatoire, car il est nécessaire de retourner les paramètres matériaux dans le système d’unité utilisé pour faire l’étude.
♦ CLASSE
La résistance en compression du béton est désignée par des classes de résistances liées à la résistance caractéristique mesurée sur cylindre ou sur cube, conformément à l’EN 206-1.
Les classes disponible dans l’opérateur sont toutes celles définies dans l’EUROCODE 2:
’C12/15’ ’C16/20’ ’C20/25’ ’C25/30’ ’C30/37’ ’C35/45’ ’C40/50’
’C45/55’ ’C50/60’ ’C55/67’ ’C60/75’ ’C70/85’ ’C80/95’ ’C90/105’
4.1.3. Cas où CODIFICATION=’ESSAI’#
Dans ce cas, l’utilisateur doit renseigner toutes les caractéristiques nécessaires pour déterminer les paramètres de la loi de comportement de MAZARS. L’utilisateur doit donner ces caractéristiques dans un système d’unités compatible avec son étude.
Les paramètres obligatoires :
♦ FCJ :Contrainte au pic en compression.
♦ EIJ :Module d’Young.
♦ EPSI_C :Déformation au pic en compression.
♦ FTJ :Contrainte au pic en traction.
Les paramètres facultatifs, présentés dans le tableau, sont ceux que l’on retrouve sous le mot clef facteur MAZARSde la commande defi_materiau [U4.43.01].
ePSD0 |
Seuil d’endommagement en déformation |
EPST0 EPSC0 |
Seuil d’endommagement en traction et en compression. |
ac, BC |
Coefficients permettant de fixer l’allure de la courbe post-pic en compression. |
at, bT |
Coefficients permettant de fixer l’allure de la courbe post-pic en traction. |
K |
Paramètre de correction pour le cisaillement. |
Tableau 4.1.3-a : Paramètres matériaux de la loi MAZARS.
◊ NU :Coefficient de poisson.
◊ SIGM_LIM :Contrainte limite.
◊ EPSI_LIM :Déformation limite.
4.2. Fonctionnement#
4.2.1. Paramètres de la loi MAZARS#
Les paramètres de la loi sont déterminés à l’aide des caractéristiques suivantes : FCJ, EIJ, EPSI_C, FTJ. Les formules sont :
\({\epsilon}_{0}={f}_{\mathit{tj}}/{E}_{ij}\) \(\beta =1.10\) \({B}_{T}={E}_{ij}/{f}_{\mathit{tj}}\) \({A}_{T}=0.70\)
\({B}_{c}=\frac{1}{{\epsilon}_{c}\nu \sqrt{2}}\) \({A}_{c}=\frac{\left(\frac{{f}_{\mathit{cj}}\nu \sqrt{2}}{{E}_{ij}}-{\epsilon}_{0}\right)}{{\epsilon}_{c}\nu \sqrt{2}\exp\left({B}_{c}({\epsilon}_{0}-{\epsilon}_{c}\nu \sqrt{2})\right)-{\epsilon}_{0}}\)
\({\sigma}_{\mathit{ELS}}=0.6{f}_{\mathit{cj}}\) \({\epsilon}_{\mathit{ELU}}=3.5‰\)
\({A}_{c}\) et \({B}_{c}\) sont déterminés en résolvant les équations issues de l’écriture \(\mathrm{1D}\) du comportement de MAZARS de façon à respecter la contrainte et la déformation au pic, ainsi que la tangente horizontale au pic.
\({B}_{c}\) est obtenu en résolvant \(f'({\epsilon}_{c})=0\)
\({A}_{c}\) en résolvant \({f}_{\mathit{cj}}=f({\epsilon}_{c})\) .
4.2.2. Dans le cas BAEL 1991#
Deux opérandes sont obligatoires: unite_containte, FCJ.
La commande détermine les grandeurs nécessaires par des formules ou des règles issues du bael91. Dans les formules ci-dessous les grandeurs \({f}_{\mathit{cj}},{f}_{\mathit{tj}},{E}_{ij}\) sont en \(\mathit{MPa}\) .
\({E}_{ij}=11000.0\sqrt[3]{{f}_{\mathit{cj}}}\) \({f}_{\mathit{tj}}=0.6+0.06{f}_{\mathit{cj}}\) \({\epsilon}_{c}=0.620E-3\sqrt[3]{{f}_{\mathit{cj}}}\) \(\nu =0.200\)
Les paramètres de la loi de MAZARSsont ensuite déterminés.
4.2.3. Dans le cas EUROCODE 2#
Deux opérandes sont obligatoires: unite_containte, CLASSE.
La commande détermine les grandeurs nécessaires par des formules ou des règles issues de l’EUROCODE 2. Dans les formules ci-dessous les grandeurs \({f}_{\mathit{ck}},{f}_{\mathit{cm}},{f}_{\mathit{ctm}},{E}_{\mathit{cm}}\) sont en \(\mathit{MPa.}\)
\({f}_{\mathit{ck}}\) : résistance caractéristique en compression mesurée sur cylindre à 28 jours.
\({f}_{\mathit{cm}}\) : résistance moyenne en compression du béton à 28 jours.
\({f}_{\mathit{cm}}={f}_{\mathit{ck}}+8.0\)
\({f}_{\mathit{ctm}}\) : résistance moyenne en traction du béton.
\({f}_{\mathit{ctm}}=\lbrace \begin{array}{cc}0.30{{f}_{\mathit{ck}}}^{2/3}& \mathit{pour}\mathit{classe}\le \text{C50/60}\\ 2.12\log(1+{f}_{\mathit{cm}}/10)& \mathit{pour}\mathit{classe}>\text{C50/60}\end{array}\)
\({E}_{\mathit{cm}}\) : module tangent
\({E}_{\mathit{cm}}=22.0E+03{\left(\frac{{f}_{\mathit{cm}}}{10}\right)}^{0.3}\)
\({\epsilon}_{\mathit{c1}}\) : déformation au pic en \(‰\)
\({\epsilon}_{\mathit{c1}}=0.7{{f}_{\mathit{cm}}}^{0.31}\mathit{toujours}\le 2.8\)
\({\epsilon}_{\mathit{cu1}}\) : déformation limite ultime en \(‰\) .
\({\epsilon}_{\mathit{cu1}}=\lbrace \begin{array}{cc}2.80+27{\left[\frac{98-{f}_{\mathit{cm}}}{100}\right]}^{4}& \mathit{pour}\mathit{classe}>\text{C50/60}\\ 3.5& \mathit{pour}\mathit{classe}\le \text{C50/60}\end{array}\)
Les paramètres de la loi de MAZARSsont ensuite déterminés.
4.2.4. Dans le cas ESSAI#
Quatre opérandes sont obligatoires: FCJ, EIJ, EPSI_C, FTJ. Les paramètres de la loi de comportement de MAZARS sont déterminés comme précédemment.
Si des opérandes facultatifs présentés au tableau sont renseignés, ils sont pris en compte par la commande. Il est donc nécessaire de s’assurer de la cohérence des grandeurs fournies, notamment dans les cas suivant:
l’utilisateur donne \({B}_{c}\) . L’équation \(f'({\epsilon}_{c})=0\) peut ne pas être vérifié, dans ce cas le comportement passera par le point \({f}_{\mathit{cj}}\) mais \({f}_{\mathit{cj}},{\epsilon}_{c}\) ne sera plus un extremum.
l’utilisateur donne \({A}_{c}\) . L’équation \({f}_{\mathit{cj}}=f({\epsilon}_{c})\) peut ne pas être vérifié, dans ce cas le comportement ne passera pas par le point \({f}_{\mathit{cj}}\) et \({\epsilon}_{c}\) .
4.3. Exemple d’utilisation#
Pour définir un béton qui a un comportement de MAZARS avec une résistance caractéristique de \(40.0\mathit{MPa}\) pour une étude dont les contraintes doivent être en \(\mathit{Pa}\) , la commande s’utilise de la façon suivante :
BETONM = DEFI_MATER_GC(
MAZARS = _F(FCJ= 40.0E+06, UNITE_CONTRAINTE = « Pa » , ) ,
)
La commande imprime dans le fichier de message toutes les valeurs qui servent à définir le matériau.
== Paramètres de la loi MAZARS [Pa] ==
Partie élasticité :
E = 3.76194246E+10, NU = 2.00000000E-01,
Partie non-linéaire :
BT = 1.25398082E+04, K = 0.70000000E+00,
AT = 7.00000000E-01, EPSI_LIM = 3.50000000E-03,
BC = 1.66741558E+03, SIGM_LIM = 2.40000000E+07,
AC = 1.28292129E+00, EPSD0 = 7.97460364E-05,
Pour information :
FCJ = 4.000E+07, FTJ = 3.0000E+06, EPSI_C = 2.12036757E-03,
Le tableau donne des jeux de paramètres obtenus avec les règles précédemment décrites.
\(\mathit{Fcj}\) [ \(\mathit{MPa}\) ] |
30.0 |
35.0 |
40.0 |
45.0 |
50.0 |
\(\mathit{Ftj}\) [ \(\mathit{MPa}\) ] |
2.4 |
2.7 |
3.0 |
3.3 |
3.6 |
\(\mathit{Young}\) [ \(\mathit{MPa}\) ] |
34180.0 |
35982.0 |
37619.0 |
39126.0 |
40524.0 |
\(\mathit{Nu}\) |
0.2 |
0.2 |
0.2 |
0.2 |
0.2 |
\({\mathit{Epsi}}_{c}\) |
1.93E-03 |
2.03E-03 |
2.12E-03 |
2.21E-03 |
2.28E-03 |
\(\mathit{At}\) |
0.7 |
0.7 |
0.7 |
0.7 |
0.7 |
\(\mathit{Bt}\) |
14241.0 |
13327.0 |
125 39 . 8 |
11856.0 |
11257.0 |
\(\mathit{Epsid}0\) |
7.02E-05 |
7.50E-05 |
7.9 7 E-05 |
8.43E-05 |
8.88E-05 |
\(\mathit{Bc}\) |
1835.2 |
1743.3 |
1667.4 |
1603.2 |
1547.9 |
\(\mathit{Ac}\) |
1.128 |
1.209 |
1.283 |
1.351 |
1.415 |
Tableau 4.3-a: Paramètres pour la loi MAZARS.
La figure présente les différentes courbes de compression obtenues avec les valeurs du tableau.
Figure 4.3-a: Loi de MAZARS courbes de compression \(\sigma =f(\epsilon )\) .