3. Principe des travaux virtuels

3.1. Travail de déformation

L’expression générale du travail de déformation 3D pour une plaque vaut:

(3.1)\[{W}_{\text{def}}=\underset{S}{\int}\underset{-h/2}{\overset{h/2}{\int}}({\varepsilon}_{xx}{\sigma}_{xx}+{\varepsilon}_{yy}{\sigma}_{yy}+{\gamma}_{xy}{\sigma}_{xy}+{\gamma}_{x}{\sigma}_{xz}+{\gamma}_{y}{\sigma}_{yz})\text{dV}\]

où \(S\) est la surface moyenne et la position dans l’épaisseur de la plaque varie entre \(–h/2\) et \(+h/2\) .

3.1.1. Expression des efforts résultants

En adoptant la cinématique du §2.2.1, on identifie le travail des efforts intérieurs:

\({W}_{\text{def}}=\underset{S}{\int}({e}_{xx}{N}_{xx}+{e}_{yy}{N}_{yy}+2{e}_{xy}{N}_{xy}+{\kappa}_{xx}{M}_{xx}+{\kappa}_{yy}{M}_{yy}+2{\kappa}_{xy}{M}_{xy}+{\gamma}_{x}{T}_{x}+{\gamma}_{y}{T}_{y})\text{dS}\) où:

(3.2)\[\begin{split}N=(\begin{array}{c}{N}_{xx}\\ {N}_{yy}\\ {N}_{xy}\end{array})=\underset{-h/2}{\overset{+h/2}{\int}}(\begin{array}{c}{\sigma}_{xx}\\ {\sigma}_{yy}\\ {\sigma}_{xy}\end{array})\text{dz}\end{split}\]

\({N}_{xx},{N}_{yy},{N}_{xy}\) sont les efforts résultants de membrane (en \(N/m\) );

\({M}_{xx},{M}_{yy},{M}_{xy}\) sont les efforts résultants de flexion ou moments (en \(N\) );

\({T}_{x},{T}_{y}\) sont les efforts résultants de cisaillement ou efforts tranchants (en \(N/m\) ).

3.1.2. Relation efforts résultants-déformations

L’expression du travail de déformation s’écrit aussi:

(3.3)\[{W}_{\text{def}}=\underset{s}{\int}\underset{-h/2}{\overset{h/2}{\int}}[\varepsilon \text{C}(e,\alpha )\varepsilon ]\text{dV}=\underset{s}{\int}\underset{-h/2}{\overset{h/2}{\int}}[\text{eCe}+z\text{eC}\kappa +z\kappa \text{Ce}+{z}^{2}\kappa \text{C}\kappa +\gamma \text{C}\gamma ]\text{dV}\]

où \(\text{C}(e,\alpha )\) est la matrice de comportement locale.

En utilisant l’expression obtenue pour \({W}_{\text{def}}\) au paragraphe précédent on trouve la relation suivante entre les efforts résultants et les déformations:

(3.4)\[\begin{split}\begin{array}{c}\text{N}={\text{H}}_{m}\text{e}+{\text{H}}_{\text{mf}}\kappa \\ \text{M}={\text{H}}_{\text{mf}}\text{e}+{\text{H}}_{f}\kappa \\ \text{T}={\text{H}}_{\text{ct}}\gamma \end{array}\end{split}\]

où:

\({H}_{\text{ct}}=\left(\begin{array}{cc}{G}_{11}& 0\\ 0& {G}_{22}\end{array}\right)\) \(\text{e}=\left(\begin{array}{c}{e}_{xx}\\ {e}_{yy}\\ 2{e}_{xy}\end{array}\right),\kappa =\left(\begin{array}{c}{\kappa}_{xx}\\ {\kappa}_{yy}\\ 2{\kappa}_{xy}\end{array}\right),\gamma =\left(\begin{array}{c}{\gamma}_{x}\\ {\gamma}_{y}\end{array}\right)\)

Les matrices \({\text{H}}_{m},{\text{H}}_{f}\text{et}{\text{H}}_{\text{ct}}\) sont les matrices de rigidité en membrane, flexion et cisaillement transverse, respectivement. La matrice \({\text{H}}_{\text{mf}}\) est une matrice de rigidité de couplage entre la membrane et la flexion.

Pour un comportement élastique homogène isotrope de plaque ces matrices ont pour expression:

(3.5)\[\begin{split}{\text{H}}_{m}=\frac{\text{Eh}}{1-{v}^{2}}\left(\begin{array}{ccc}1& v& 0\\ v& 1& 0\\ 0& 0& \frac{1-v}{2}\end{array}\right),{\text{H}}_{f}=\frac{{\text{Eh}}^{3}}{12(1-{v}^{2})}\left(\begin{array}{ccc}1& v& 0\\ v& 1& 0\\ 0& 0& \frac{1-v}{2}\end{array}\right),{\text{H}}_{\text{ct}}=\frac{\text{kEh}}{2(1+v)}\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)\end{split}\]

et \({\text{H}}_{\text{mf}}=0\) car il y a symétrie matérielle par rapport au plan \(z=0\) .

Pour un matériau orthotrope, le comportement est donné en annexe.

3.1.3. Énergie interne élastique de plaque

Compte tenu des remarques précédentes, l’énergie interne élastique de la plaque s’exprime plus habituellement pour ce genre de géométrie de la façon suivante:

(3.6)\[{\Phi}_{int}=\frac{1}{2}\underset{S}{\int}[\text{e}({\text{H}}_{m}\text{e}+{\text{H}}_{\text{mf}}\kappa )+\kappa ({\text{H}}_{\text{mf}}\text{e}+{\text{H}}_{f}\kappa )+\gamma {\text{H}}_{\text{ct}}\gamma ]\text{dS}\]

que l’on peut décomposer de la façon suivante:

\({\Phi}_{\text{membrane}}=\frac{1}{2}\underset{S}{\int}\text{e}{\text{H}}_{m}\text{e}\text{dS}\) énergie de membrane

\({\Phi}_{\text{flexion}}=\frac{1}{2}\underset{S}{\int}\kappa {\text{H}}_{m}\kappa \text{dS}\) énergie de flexion

\({\Phi}_{\text{cisaillement}}=\frac{1}{2}\underset{S}{\int}\gamma {\text{H}}_{\mathit{ct}}\gamma \text{dS}\) énergie de cisaillement

\({\Phi}_{\text{couplage}}=\frac{1}{2}\underset{S}{\int}(\text{e}{\text{H}}_{\text{mf}}\kappa +\kappa {\text{H}}_{\text{mf}}\text{e})\text{dS}\) énergie de couplage membrane-flexion

3.1.4. Remarques

Les relations liant \({\text{H}}_{m}\) , \({\text{H}}_{f}\) , \({\text{H}}_{\mathit{mf}}\) à \(\text{H}\) et \({\text{H}}_{\mathrm{ct}}\) à \({\text{H}}_{\gamma}\) sont valides quelle que soit la loi de comportement: élastique, avec déformations anélastiques (thermoélasticité, plasticité, ….).

Pour une plaque constituée de \(N\) couches orthotropes en élasticité, les matrices \({\text{H}}_{m}\) , \({\text{H}}_{f}\) , \({\text{H}}_{\mathrm{mf}}\) et \({\text{H}}_{\mathit{ct}}\) s’écrivent:

(3.7)\[{\text{H}}_{m}=\sum_{i=1}^{N}{h}_{i}{\text{H}}_{i},{\text{H}}_{\mathit{mf}}=\sum_{i=1}^{N}{h}_{i}{\eta}_{i}{\text{H}}_{i},{\text{H}}_{f}=\sum_{i=1}^{N}\frac{1}{3}({z}_{i+1}^{3}-{z}_{i}^{3}){\text{H}}_{i},{\text{H}}_{\mathit{ct}}=\sum_{i=1}^{N}{h}_{i}{\text{H}}_{\gamma i}\]

où: \({h}_{i}={z}_{i+1}-{z}_{i},{\eta}_{i}=\frac{1}{2}\left({z}_{i+1}+{z}_{i}\right)\) et \({\text{H}}_{i},{\text{H}}_{\gamma i}\) représentent les matrices \(\text{H}\) et \({\text{H}}_{\gamma}\) pour la couche \(i\) .

L’homogénéisation pour des coques multicouches peut conduire à des matrices de rigidité de membrane et de flexion non proportionnelles du type:

(3.8)\[\begin{split}{\text{H}}_{m}=\left(\begin{array}{ccc}{C}_{1111}& {C}_{1122}& 0\\ {C}_{1122}& {C}_{2222}& 0\\ 0& 0& {C}_{1212}\end{array}\right),{\text{H}}_{f}=\left(\begin{array}{ccc}{D}_{1111}& {D}_{1122}& 0\\ {D}_{1122}& {D}_{2222}& 0\\ 0& 0& {D}_{1212}\end{array}\right),{\text{H}}_{\mathit{ct}}=\left(\begin{array}{cc}{G}_{11}& 0\\ 0& {G}_{22}\end{array}\right)\end{split}\]

pour lesquelles on ne peut retrouver des valeurs équivalentes du module d’Young et de l’épaisseur permettant de retrouver les expressions classiques de la rigidité, cf. [4].

3.2. Travail des forces et couples extérieurs

Le travail des forces et couples s’exerçant sur la plaque s’exprime de la manière suivante:

(3.9)\[{W}_{\text{ext}}=\underset{S}{\int}\underset{-h/2}{\overset{+h/2}{\int}}{\text{F}}_{v}.\text{U}\text{dV}+\underset{S}{\int}{\text{F}}_{s}.\text{U}\text{dS}+\underset{C}{\int}\underset{-h/2}{\overset{+h/2}{\int}}{\text{F}}_{c}.\text{U}\text{dz}\text{ds}\]

où \({\text{F}}_{v},{\text{F}}_{s},{\text{F}}_{c}\) sont les efforts volumiques, surfaciques et de contour s’exerçant sur la plaque, respectivement. \(C\) est la partie du contour de la plaque sur laquelle les efforts de contour \({\text{F}}_{c}\) sont appliqués. Avec la cinématique du §2.2.1, on détermine ainsi:

\(\begin{array}{}{W}_{\text{ext}}=\underset{S}{\int}({f}_{x}u+{f}_{y}v+{f}_{z}w+{c}_{x}{\theta}_{x}+{c}_{y}{\theta}_{y})\text{dS}+\underset{C}{\int}({\phi }_{x}u+{\phi }_{y}v+{\phi }_{z}w+{\chi }_{x}{\theta}_{x}+{\chi }_{y}{\theta}_{y})\text{ds}\\ =\underset{S}{\int}({f}_{x}u+{f}_{y}v+{f}_{z}w+{c}_{y}{\beta}_{x}-{c}_{x}{\beta}_{y})\text{dS}+\underset{C}{\int}({\phi }_{x}u+{\phi }_{y}v+{\phi }_{z}w+{\chi }_{y}{\beta}_{x}-{\chi }_{x}{\beta}_{y})\text{ds}\end{array}\)

• où sont présents sur la plaque:

\({f}_{x},{f}_{y},{f}_{z}\) : forces surfaciques agissant suivant \(x,y\) et \(z\)

\({f}_{i}=\underset{-h/2}{\overset{+h/2}{\int}}{\text{F}}_{v}.{\text{e}}_{i}\text{dz}+{\text{F}}_{s}.{\text{e}}_{i}\) où \({\text{e}}_{x}\) et \({\text{e}}_{y}\) sont les vecteurs de base du plan tangent et \({\text{e}}_{z}\) leur vecteur normal.

\({c}_{x},{c}_{y}\) : couples surfaciques agissant autour des axes \(x\) et \(y\) .

\({c}_{i}=\underset{-h/2}{\overset{+h/2}{\int}}(z{\text{e}}_{z}\wedge {\text{F}}_{v}).{\text{e}}_{i}\text{dz}+(\pm \frac{h}{2}{\text{e}}_{z}\wedge {\text{F}}_{s}).{\text{e}}_{i}\) où \({\text{e}}_{x},{\text{e}}_{y},{\text{e}}_{z}\) sont les vecteurs de base précédemment définis.

• et où sont présents sur le contour de la plaque:

\({\phi }_{x},{\phi }_{y},{\phi }_{z}\) : forces linéiques agissant suivant \(x,y\) et \(z\)

\({\varphi}_{i}=\underset{-h/2}{\overset{+h/2}{\int}}{\text{F}}_{c}.{\text{e}}_{i}\text{dz}\) où \({\text{e}}_{x},{\text{e}}_{y},{\text{e}}_{z}\) sont les vecteurs de base précédemment définis.

\({\mathrm{\chi }}_{x},{\mathrm{\chi }}_{y}\) : couples linéiques autour des axes \(x\) et \(y\) .

\({\mathrm{\chi }}_{i}=\underset{-h/2}{\overset{+h/2}{\int}}(z{\text{e}}_{z}\wedge {\text{F}}_{c}).{\text{e}}_{i}\text{dz}\) où \({\text{e}}_{x},{\text{e}}_{y},{\text{e}}_{z}\) sont les vecteurs de base précédemment définis.

Remarque:

Les moments par rapport à \(z\) sont nuls.

3.3. Principe du travail virtuel

Il s’écrit de la manière suivante: \(\delta {W}_{\text{ext}}=\delta {W}_{\text{def}}\) pour tous déplacements et rotations virtuels cinématiquement admissibles.

3.3.1. Cinématique de Hencky

Avec cette cinématique, il en résulte après intégration par parties du travail de déformation les équations d’équilibre statique des plaques suivantes:

• Pour les efforts: \(\begin{array}{}{N}_{xx,x}+{N}_{xy,y}+{f}_{x}=0,\\ {N}_{yy,y}+{N}_{xy,x}+{f}_{y}=0,\\ {T}_{x,x}+{T}_{y,y}+{f}_{z}=0.\end{array}\)

• Pour les couples: \(\begin{array}{}{M}_{xx,x}+{M}_{xy,y}-{T}_{x}+{c}_{y}=0,\\ {M}_{yy,y}+{M}_{xy,x}-{T}_{y}-{c}_{x}=0.\end{array}\)

ainsi que les conditions aux limites suivantes sur le contour \(C\) de \(S\) :

\(\begin{array}{}{N}_{xx}{n}_{x}+{N}_{xy}{n}_{y}={\phi }_{x}\\ {N}_{yy}{n}_{y}+{N}_{xy}{n}_{x}={\phi }_{y}\\ {T}_{x}{n}_{x}+{T}_{y}{n}_{y}={\phi }_{z},\\ {M}_{xx}{n}_{x}+{M}_{xy}{n}_{y}={\chi }_{y}\\ {M}_{yy}{n}_{y}+{M}_{xy}{n}_{x}=-{\chi }_{x}\end{array}\) où \(\begin{array}{}u=\stackrel{ˉ}{u}\\ v=\stackrel{ˉ}{v}\\ w=\stackrel{ˉ}{w}\\ {\beta}_{x}={\stackrel{ˉ}{\theta}}_{y}\\ {\beta}_{y}=-{\stackrel{ˉ}{\theta}}_{x}\end{array}\)

où \({n}_{x}\) et \({n}_{y}\) sont les cosinus directeurs de la normale à \(C\) dirigée vers l’extérieur de la plaque.et \(\overline{u}\) désigne la trace de \(u\) sur C \(.\)

L’interprétation physique de ces efforts (\(N\) , \(T\) et \(M\) ) à partir des équations précédentes est donnée ci‑dessous:

Figure 3.3.1-a: Efforts résultants pour un élément de plaque

Remarque:

\({N}_{xx},{N}_{yy}\) représentent les efforts de traction et \({N}_{xy}\) le cisaillement plan. \({M}_{xx}\) et \({M}_{yy}\) représentent les couples de flexion et \({M}_{xy}\) le couple de torsion. \({T}_{x}\) et \({T}_{y}\) sont les efforts de cisaillement transverse.

3.3.2. Cinématique de Love-Kirchhoff

On rappelle que dans le cadre de cette cinématique, on a la relation suivante liant la dérivée de la flèche aux rotations: \(\begin{array}{}{\beta}_{x}=-\frac{\partial w}{\partial x}\\ {\beta}_{y}=-\frac{\partial w}{\partial y}\end{array}\) . Après une double intégration par parties du travail de déformation, on obtient les équations d’équilibre statique suivantes:

• Pour les efforts de membrane: \(\begin{array}{}{N}_{xx,x}+{N}_{xy,y}+{f}_{x}=0,\\ {N}_{yy,y}+{N}_{xy,x}+{f}_{y}=0,\end{array}\)

• Pour les efforts de flexion et de cisaillement transverse:

\(\begin{array}{}{M}_{xx,xx}+{\mathrm{2M}}_{xy,xy}+{M}_{yy,yy}+{f}_{z}+{c}_{y,x}-{c}_{x,y}=0,\\ {M}_{xx,x}+{M}_{xy,y}-{T}_{x}+{c}_{y}=0,\\ {M}_{yy,y}+{M}_{xy,x}-{T}_{y}-{c}_{x}=0.\end{array}\)

ainsi que les conditions aux limites sur le contour \(C\) et aux points anguleux \(O\) du contour \(C\) de \(S\) :

\(\begin{array}{}{N}_{xx}{n}_{x}+{N}_{xy}{n}_{y}={\phi }_{x},\\ {N}_{yy}{n}_{y}+{N}_{xy}{n}_{x}={\phi }_{y},\\ {T}_{n}+{M}_{\text{ns},s}={\phi }_{z}-{\chi }_{n,s},\\ {M}_{\text{nn}}={\chi }_{s},\\ {M}_{\text{ns}}(O+)-{M}_{\text{ns}}(O-)\text{=-}[{\chi }_{n}(O+)-{\chi }_{n}(O-)].\end{array}\) où \(\begin{array}{}u=\stackrel{ˉ}{u}\\ v=\stackrel{ˉ}{v}\\ w=\stackrel{ˉ}{w}\\ {\beta}_{n}=-{\stackrel{ˉ}{w}}_{,n}={\stackrel{ˉ}{\theta}}_{s}\end{array}\)

avec \(\begin{array}{}{T}_{n}={T}_{x}{n}_{x}+{T}_{y}{n}_{y},\\ {M}_{\text{nn}}={M}_{xx}{n}_{x}^{2}+{\mathrm{2M}}_{xy}{n}_{x}{n}_{y}+{M}_{yy}{n}_{y}^{2},\\ {M}_{\text{ns}}\text{=-}{M}_{xx}{n}_{x}{n}_{y}+{M}_{xy}({n}_{x}^{2}-{n}_{y}^{2})+{M}_{yy}{n}_{x}{n}_{y}.\end{array}\) .

Figure 3.3.2-a: Condition aux limites avec points anguleux pour un élément de plaque

Remarque:

La cinématique de Love-Kirchhoff implique que sur le contour de la plaque l’effort de cisaillement transverse est lié au moment de torsion. On constate que l’ordre des équations d’équilibre de flexion est plus élevé qu’avec la cinématique de Hencky. Ainsi, choisir la cinématique de Love‑Kirchhoff revient à augmenter le degré des fonctions d’interpolation car il faut une régularité plus grande pour les termes de flèche par rapport aux termes de membrane du fait de la présence de dérivées secondes de la flèche dans l’expression du travail des déformations. Aucun élément de plaque du Code_Aster n’utilise cette cinématique. On peut donc avoir des écarts entre les résultats obtenus avec les éléments du Code_Aster et des résultats analytiques obtenus en utilisant la cinématique de Love-Kirchhoff pour des structures à contours anguleux.

3.3.3. Principales conditions aux limites rencontrées [1]

Figure 3.3.3-a: Condition aux limites pour un élément de plaque

Les conditions aux limites fréquemment rencontrées sont regroupées dans le tableau qui suit. Elles sont données pour la cinématique de Hencky dans le repère défini par s et la normale extérieure à la plaque:

Encastrement	Support simple	Bord libre	Symétrie par rapport à un axe \(s\)	Antisymétrie par rapport à un axe \(s\)
\(\begin{array}{}\stackrel{ˉ}{u}=0,\\ \stackrel{ˉ}{v}=0,\\ \stackrel{ˉ}{w}=0,\\ {\stackrel{ˉ}{\theta}}_{s}=0,\\ {\stackrel{ˉ}{\theta}}_{n}=0.\end{array}\)	\(\begin{array}{}{\stackrel{ˉ}{u}}_{n}=0,\\ \stackrel{ˉ}{w}=0,\\ {\stackrel{ˉ}{\theta}}_{n}=0.\end{array}\)		\(\begin{array}{}{\stackrel{ˉ}{u}}_{n}=0,\\ {\stackrel{ˉ}{\theta}}_{s}=0.\end{array}\)	\(\begin{array}{}{\stackrel{ˉ}{u}}_{s}=0,\\ \stackrel{ˉ}{w}=0,\\ {\stackrel{ˉ}{\theta}}_{n}=0.\end{array}\)
	\(\begin{array}{}{\phi }_{s}=0,\\ {\chi }_{s}=0.\end{array}\)	\(\begin{array}{}{\phi }_{s}=0,\\ {\phi }_{n}=0,\\ {\phi }_{z}=0,\\ {\chi }_{s}=0,\\ {\chi }_{n}=0\end{array}\)	\(\begin{array}{}{\phi }_{s}=0,\\ {\phi }_{z}=0,\\ {\chi }_{n}=0.\end{array}\)	\(\begin{array}{}{\phi }_{n}=0,\\ {\chi }_{s}=0.\end{array}\)

avec: \(\begin{array}{}{u}_{n}={\text{un}}_{x}+{\text{vn}}_{y};{u}_{s}\text{=-}{\text{un}}_{y}+{\text{vn}}_{x},\\ {\theta}_{n}={\theta}_{x}{n}_{x}+{\theta}_{y}{n}_{y};{\theta}_{s}=-{\theta}_{x}{n}_{y}+{\theta}_{y}{n}_{x},\\ {\phi }_{n}={\phi }_{x}{n}_{x}^{2}+2{\phi }_{xy}{n}_{x}{n}_{y}+{\phi }_{y}{n}_{y}^{2},\\ {\phi }_{s}=-{\phi }_{x}{n}_{x}{n}_{y}+{\phi }_{xy}({n}_{x}^{2}-{n}_{y}^{2})+{\phi }_{y}{n}_{x}{n}_{y},\\ {\chi }_{n}={\chi }_{x}{n}_{x}^{2}+2{\chi }_{xy}{n}_{x}{n}_{y}+{\chi }_{y}{n}_{y}^{2},\\ {\chi }_{s}=-{\chi }_{x}{n}_{x}{n}_{y}+{\chi }_{xy}({n}_{x}^{2}-{n}_{y}^{2})+{\chi }_{y}{n}_{x}{n}_{y}.\end{array}\) Remarque: on a \(\begin{array}{}{\beta}_{s}=-{\theta}_{n},\\ {\beta}_{n}={\theta}_{s}.\end{array}\) .