6. Conclusion

Les éléments finis de plaque plans que nous décrivons ici sont utilisés dans les calculs de structures minces, en petits déplacements et déformations, dont le rapport épaisseur sur longueur caractéristique est inférieur à \(1/10\) . Comme ces éléments sont plans, ils ne prennent pas en compte la courbure des structures, et il est nécessaire de raffiner les maillages dans le cas où celle-ci serait importante.

Ce sont des éléments pour lesquels les déformations et les contraintes dans le plan de l’élément varient linéairement avec l’épaisseur de la plaque. De plus, la distorsion associée au cisaillement transverse est constante dans l’épaisseur de l’élément. Deux familles d’éléments finis de plaque existent: les éléments DKT, DKQ (ou DKTG, DKQG) pour lesquels la distorsion transverse est nulle et les éléments finis avec énergie de cisaillement transverse DST, DSQ et Q4G (ou Q4g) pour qui elle reste constante et non nulle dans l’épaisseur. On conseille d’utiliser le second type d’éléments lorsque la structure à étudier a un rapport épaisseur sur longueur caractéristique compris entre \(1/20\) et \(1/10\) et les premiers dans le restant des cas. Lorsque la distorsion transverse est non nulle, les éléments de plaque DST, DSQ et Q4G ne satisfont pas les conditions d’équilibre 3D et les conditions aux limites sur la nullité des contraintes de cisaillement transverse sur les faces supérieure et inférieure de plaque, compatibles avec une distorsion transverse constante dans l’épaisseur de la plaque. Il en résulte ainsi qu’au niveau du comportement élastique un coefficient de \(5/6\) pour une plaque homogène corrige la relation habituelle entre les contraintes et la distorsion transverses de façon à assurer l’égalité entre les énergies de cisaillement du modèle 3D et du modèle de plaque à distorsion constante. Dans ce cas, la flèche \(w\) a pour interprétation le déplacement transverse moyen dans l’épaisseur de la plaque.

Les comportements non linéaires en contraintes planes sont disponibles pour les éléments de plaque DKT et DKQ uniquement. En effet la prise en compte rigoureuse d’un cisaillement transverse constant non nul sur l’épaisseur et la détermination de la correction associée sur la rigidité de cisaillement par rapport à un modèle satisfaisant les conditions d’équilibre et les conditions aux limites ne sont pas possibles et rendent donc l’utilisation des éléments DST, DSQ et Q4G rigoureusement impossible en plasticité.

Pour les éléments de la famille DKTG, seul des relations de comportement globales (relations moment-courbures et efforts membranaires – élongations) sont disponibles.

Des éléments correspondant aux éléments mécaniques existent en thermique; les chaînages thermomécaniques sont donc disponibles sauf, pour l’instant, pour les matériaux stratifiés.

: Plaques orthotropes

Pour un matériau orthotrope comme celui représenté sur la figure , composé par exemple de fibres de direction \(L\) enrobées d’une matrice, dont les axes d’orthotropie sont \(L\) , \(T\) et \(Z\) avec isotropie d’axe \(L\) , l’expression pour les matrices \(\text{H}\) et \({\text{H}}_{\gamma}\) dans le repère d’orthotropie précédemment défini devient:

(6.1)\[ \begin{align}\begin{aligned}\begin{split}{\text{H}}_{L}=\left(\begin{array}{ccc}{H}_{\text{LL}}& {H}_{\text{LT}}& 0\\ {H}_{\text{LT}}& {H}_{\text{TT}}& 0\\ 0& 0& {G}_{\text{LT}}\end{array}\right)\end{split}\\\textrm{et}\\\begin{split}{\text{H}}_{L\gamma }=\left(\begin{array}{cc}{G}_{\text{LZ}}& 0\\ 0& {G}_{\text{TZ}}\end{array}\right)\end{split}\end{aligned}\end{align} \]

avec \(\begin{array}{c}{H}_{\text{LL}}=\frac{{E}_{L}}{1-{\nu}_{\text{LT}}{\nu}_{\text{TL}}};{H}_{\text{TT}}=\frac{{E}_{T}}{1-{\nu}_{\text{LT}}{\nu}_{\text{TL}}}\\ {H}_{\text{LT}}=\frac{{E}_{T}{\nu}_{\text{LT}}}{1-{\nu}_{\text{LT}}{\nu}_{\text{TL}}}=\frac{{E}_{L}{\nu}_{\text{TL}}}{1-{\nu}_{\text{LT}}{\nu}_{\text{TL}}}\end{array}\) et \(\begin{array}{c}{G}_{\text{LZ}}=\frac{{E}_{L}}{2(1+{\nu}_{\text{LZ}})}\\ {G}_{\text{TZ}}=\frac{{E}_{T}}{2(1+{\nu}_{\text{TZ}})}\end{array}\) .

La connaissance des cinq coefficients indépendants \({E}_{L}\) , \({E}_{T}\) , \({G}_{\text{LT}}\) , \({G}_{\text{TZ}}\) et \({\nu}_{\text{LT}}\) est suffisante pour déterminer les coefficients des matrices \(\text{H}\) et \({\text{H}}_{\gamma}\) puisque:

\({\nu}_{\text{TL}}=\frac{{E}_{T}{\nu}_{\text{LT}}}{{E}_{L}}\) et \({G}_{\text{LZ}}={G}_{\text{LT}}\) .

Si l’on désigne par \(\theta\) l’angle entre le repère d’orthotropie et l’axe principal du repère défini par l’utilisateur au moyen de ANGL_REP on établit que:

(6.2)\[ \begin{align}\begin{aligned}\text{H}={\text{T}}_{1}^{T}{\text{H}}_{L}{\text{T}}_{1}\\\textrm{et}\\{\text{H}}_{\gamma}={\text{T}}_{2}^{T}{\text{H}}_{L\gamma }{\text{T}}_{2}\end{aligned}\end{align} \]

avec: \({\text{T}}_{1}=\left(\begin{array}{ccc}{C}^{2}& {S}^{2}& \text{CS}\\ {S}^{2}& {C}^{2}& -\text{CS}\\ -2\text{CS}& 2\text{CS}& {C}^{2}-{S}^{2}\end{array}\right)\) et \({\text{T}}_{2}=\left(\begin{array}{cc}C& S\\ -S& C\end{array}\right)\) où \(C=\cos\theta ,S=\sin\theta ` et :math:\)theta =(x,L)` comme indiqué sur la figure ci-dessous.

Figure 6-1: Plaque composite

Dans le cas de contraintes initiales d’origine thermique, nous avons de plus:

(6.3)\[\begin{split}{\sigma}_{\text{th}}=-{\text{T}}_{1}^{T}{\text{H}}_{L}\left(\begin{array}{c}{\alpha}_{L}\Delta T\\ {\alpha}_{T}\Delta T\\ 0\end{array}\right)\end{split}\]

où \({\alpha}_{L}\) et \({\alpha}_{T}\) sont les coefficients de dilatation thermique dans les directions \(L\) et \(T\) et \(\Delta T\) la variation de température.

: Facteurs de correction de cisaillement transverse pour des plaques orthotropes ou stratifiées La matrice \({\text{H}}_{\text{ct}}\) est définie de sorte que la densité surfacique d’énergie de cisaillement transverse obtenue dans le cas de la distribution tridimensionnelle des contraintes issues de la résolution de l’équilibre soit égale à celle du modèle de plaque basé sur les hypothèses de Reissner, pour un comportement en flexion simple. On doit ainsi trouver \({\text{H}}_{\text{ct}}\) telle que:

(6.4)\[ \begin{align}\begin{aligned}\frac{1}{2}\underset{-h/2}{\overset{+h/2}{\int}}\tau {\text{H}}_{\gamma}^{-1}\tau =\frac{1}{2}{\text{TH}}_{\text{ct}}^{-1}\text{T}=\frac{1}{2}\gamma {\text{H}}_{\text{ct}}\gamma\\\textrm{avec}\\\begin{split}\tau =(\begin{array}{c}{\sigma}_{xz}\\ {\sigma}_{yz}\end{array})` et :math:`\text{T}=\underset{-h/2}{\overset{+h/2}{\int}}\tau \text{dz}={\text{H}}_{\text{ct}}\gamma\end{split}\end{aligned}\end{align} \]

Pour obtenir \({\text{H}}_{\text{ct}}\) on utilise la distribution de \(\tau\) suivant \(z\) obtenue à partir de la résolution des équations d’équilibre 3D sans couples extérieurs:

\({\sigma}_{xz}=-\underset{-h/2}{\overset{z}{\int}}({\sigma}_{xx,x}+{\sigma}_{xy,y})d\zeta ;{s}_{yz}=-\underset{-h/2}{\overset{z}{\int}}({\sigma}_{xy,x}+{\sigma}_{yy,y})d\zeta\) avec \({\sigma}_{xz}={\sigma}_{yz}=0\) pour \(z=\pm h/2\) .

Dans le cas où il n’y a pas de couplage membrane flexion (symétrie par rapport à \(z=0\) ), les contraintes dans le plan de l’élément \({\sigma}_{xx}\) , \({\sigma}_{yy}\) et \({\sigma}_{xy}\) ont pour expression dans le cas d’un comportement de flexion pure:

\(\sigma =z\text{A}(z)\text{M}\) avec \(\text{A}(z)=\text{H}(z){\text{H}}_{f}^{-1}\) .

Si \(\text{H}(z)\) et \({\text{H}}_{f}\) ne dépendent pas de \(x\) et \(y\) on peut déterminer \({\text{H}}_{\text{ct}}\) . En effet:

\(\tau (z)={\text{D}}_{1}(z)\text{T}+{\text{D}}_{2}(z)\lambda\) où \(\text{T}=(\begin{array}{c}{T}_{x}\\ {T}_{y}\end{array})=(\begin{array}{c}{M}_{xx,x}+{M}_{xy,y}\\ {M}_{xy,x}+{M}_{yy,y}\end{array})\) et \(\lambda =(\begin{array}{c}{M}_{xx,x}-{M}_{xy,y}\\ {M}_{xy,x}-{M}_{yy,y}\\ {M}_{yy,x}\\ {M}_{xx,y}\end{array})\)

ainsi que:

\({\text{D}}_{1}=-\underset{-h/2}{\overset{z}{\int}}\frac{\zeta}{2}(\begin{array}{cc}{A}_{11}+{A}_{33}& {A}_{13}+{A}_{32}\\ {A}_{31}+{A}_{23}& {A}_{22}+{A}_{33}\end{array})d\zeta\) ,

\({\text{D}}_{2}\text{=-}\underset{-h/2}{\overset{z}{\int}}\frac{\zeta}{2}(\begin{array}{cccc}{A}_{11}-{A}_{33}& {A}_{13}-{A}_{32}& 2{A}_{12}& 2{A}_{31}\\ {A}_{31}-{A}_{23}& {A}_{33}-{A}_{22}& 2{A}_{32}& 2{A}_{21}\end{array})d\zeta\) .

Il en résulte que \(\frac{1}{2}\underset{-h/2}{\overset{+h/2}{\int}}\tau {\text{H}}_{\gamma}^{-1}\tau =\frac{1}{2}(\begin{array}{c}\text{T}\\ \lambda \end{array})(\begin{array}{cc}{C}_{11}& {C}_{12}\\ {C}_{12}^{T}& {C}_{22}\end{array})(\begin{array}{c}\text{T}\\ \lambda \end{array})\) avec: \(\begin{array}{c}{\text{C}}_{11}=\underset{-h/2}{\overset{+h/2}{\int}}{\text{D}}_{1}^{T}{\text{H}}_{\gamma}^{-1}{\text{D}}_{1}\text{dz};\\ {\text{C}}_{12}=\underset{-h/2}{\overset{+h/2}{\int}}{\text{D}}_{1}^{T}{\text{H}}_{\gamma}^{-1}{\text{D}}_{2}\text{dz};\\ {\text{C}}_{22}=\underset{-h/2}{\overset{+h/2}{\int}}{\text{D}}_{2}^{T}{\text{H}}_{\gamma}^{-1}{\text{D}}_{2}\text{dz}\end{array}\)

Comme par ailleurs \(\frac{1}{2}\underset{-h/2}{\overset{+h/2}{\int}}\tau {\text{H}}_{\gamma}^{-1}\tau =\frac{1}{2}{\text{TH}}_{\text{ct}}^{-1}\text{T}\) on propose de prendre \({\text{H}}_{\text{ct}}={\text{C}}_{11}^{-1}\) pour satisfaire au mieux les deux équations quels que soient \(T\) et \(\lambda\) .

En comparant \({\text{H}}_{\text{ct}}\) ainsi calculée avec \({\stackrel{ˉ}{\text{H}}}_{\text{ct}}=\underset{-h/2}{\overset{+h/2}{\int}}{\text{H}}_{\gamma}\text{dz}\) on fait apparaître les coefficients de correction de cisaillement transverse suivants

(6.5)\[ \begin{align}\begin{aligned}{k}_{1}={H}_{\text{ct}}^{11}/{\stackrel{̄}{H}}_{\text{ct}}^{11}\\\textrm{,}\\{k}_{12}={H}_{\text{ct}}^{12}/{\stackrel{̄}{H}}_{\text{ct}}^{12}` et :math:`{k}_{2}={H}_{\text{ct}}^{22}/{\stackrel{̄}{H}}_{\text{ct}}^{22}\end{aligned}\end{align} \]

Pour une plaque homogène, isotrope ou anisotrope, on trouve ainsi: \({\text{H}}_{\text{ct}}=\mathrm{kh}{\text{H}}_{\gamma}\) avec \(k=5/6\) .

Remarques:

Cette méthode n’est valide que lorsque la plaque composite est symétrique par rapport à \(z=0\) .

• Pour un matériau multicouche , on établit que:

(6.6)\[\begin{split}\begin{array}{}{\text{C}}_{11}=\sum_{i=1}^{N}\frac{{h}_{i}}{4}(\sum_{p=1}^{i-1}{h}_{p}{\eta}_{p}{\text{A}}_{p}^{T}-\frac{1}{2}{z}_{i}^{2}{\text{A}}_{i}^{T}){\text{H}}_{\gamma}^{-1}(\sum_{p=1}^{i-1}{h}_{p}{\eta}_{p}{\text{A}}_{p}-\frac{1}{2}{z}_{i}^{2}{\text{A}}_{i})+\\ \frac{1}{24}({z}_{i+1}^{3}-{z}_{i}^{3})[{\text{A}}_{i}^{T}{\text{H}}_{\gamma}^{-1}(\sum_{p=1}^{i-1}{h}_{p}{\eta}_{p}{\text{A}}_{p}-\frac{1}{2}{z}_{i}^{2}{\text{A}}_{i})+(\sum_{p=1}^{i-1}{h}_{p}{\eta}_{p}{\text{A}}_{p}^{T}-\frac{1}{2}{z}_{i}^{2}{\text{A}}_{i}^{T}){\text{H}}_{\gamma}^{-1}{\text{A}}_{i}]\\ +\frac{1}{80}({z}_{i+1}^{5}-{z}_{i}^{5}){\text{A}}_{i}^{T}{\text{H}}_{\gamma}^{-1}{\text{A}}_{i}\end{array}\end{split}\]

où: \({h}_{i}={z}_{i+1}-{z}_{i},{\eta}_{i}=\frac{1}{2}({z}_{i+1}+{z}_{i})\) et \({\text{A}}_{i}\) représente la matrice \((\begin{array}{cc}{A}_{11}+{A}_{33}& {A}_{13}+{A}_{32}\\ {A}_{31}+{A}_{23}& {A}_{22}+{A}_{33}\end{array})\) pour la couche \(i\) .

• La validité du choix \({\text{H}}_{\text{ct}}={\text{C}}_{11}^{-1}\) peut être examinée a posteriori lorsque l’on a une estimation de la solution (champs de déplacements et de contraintes planes, notamment). On peut alors estimer l’écart entre les deux estimations sur l’énergie. Une démarche de calcul en deux étapes pour les plaques et coques multicouches (avec \({\text{H}}_{\text{ct}}\) diagonale et deux coefficients \({k}_{1}\) et \({k}_{2}\) ) a d’ailleurs été développée par Noor et Burton [8]et [8] .

• Dans le cas d’une plaque homogène isotrope ou anisotrope, l’égalité entre les deux énergies est satisfaite au sens strict puisque \({\text{D}}_{2}=0\) . Le choix fait ci-dessus est alors valide et aucun examen a posteriori n’est nécessaire.