2. Formulation#

2.1. Géométrie des éléments plaques [1]#

Pour les éléments de plaque on définit une surface de référence, ou surface moyenne, plane (plan \(x,y\) par exemple) et une épaisseur \(h(x,y)\) . Cette épaisseur doit être petite par rapport aux autres dimensions (extensions, rayons de courbure) de la structure à modéliser. La [Figure 2.1-a] ci-dessous illustre notre propos.

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Figure 2.1-a

On attache à la surface moyenne \(\omega\) un repère orthonormé local \(\mathit{Oxyz}\) associé au plan tangent de la structure différent du repère global \(\mathit{OXYZ}\) . La position des points de la plaque est donnée par les coordonnées cartésiennes \((x,y)\) de la surface moyenne et l’élévation \(z\) par rapport à cette surface.

2.1.1. Repère intrinsèque#

En prenant le repère local \(\mathit{Oxyz}\) précédent avec pour origine le premier sommet de l’élément et pour axe \(\mathit{Ox}\) le côté joignant les sommets 1 et 2, on définit le repère dit intrinsèque.

2.2. Théorie des plaques#

Ces éléments reposent sur la théorie des plaques en petits déplacements et petites déformations.

2.2.1. Cinématique#

Les sections droites qui sont les sections perpendiculaires à la surface moyenne restent droites; les points matériels situés sur une normale à la surface moyenne non déformée restent sur une droite dans la configuration déformée. Il résulte de cette approche que les champs de déplacement varient linéairement dans l’épaisseur de la plaque . Si l’on désigne par \(u,v,w\) les déplacements d’un point \(q(x,y,z)\) suivant \(x\) , \(y\) et \(z\) , on a ainsi la cinématique de Hencky-Mindlin:

(2.1)#\[\begin{split}(\begin{array}{c}{u}_{x}(x,y,z)\\ {u}_{y}(x,y,z)\\ {u}_{z}(x,y,z)\end{array})=(\begin{array}{c}u(x,y)\\ v(x,y)\\ w(x,y)\end{array})+z(\begin{array}{c}{\theta}_{y}(x,y)\\ -{\theta}_{x}(x,y)\\ 0\end{array})=(\begin{array}{c}u(x,y)\\ v(x,y)\\ w(x,y)\end{array})+z(\begin{array}{c}{\beta}_{x}(x,y)\\ {\beta}_{y}(x,y)\\ 0\end{array})\end{split}\]

où \(u,v,w\) sont les déplacements de la surface moyenne et \({\theta}_{x}\) et \({\theta}_{y}\) les rotations de cette surface par rapport aux deux axes \(x\) et \(y\) respectivement. On préfère introduire les deux rotations \({\beta}_{x}(x,y)={\theta}_{y}(x,y),{\beta}_{y}(x,y)=-{\theta}_{x}(x,y)\) .

Les déformations tridimensionnelles en tout point, avec la cinématique introduite précédemment, sont ainsi données par :

(2.2)#\[\begin{split}\begin{array}{c}{\epsilon}_{xx}={e}_{xx}+z{\kappa}_{xx}\\ {\epsilon}_{yy}={e}_{yy}+z{\kappa}_{yy}\\ 2{\epsilon}_{xy}={\gamma}_{xy}=2{e}_{xy}+2z{\kappa}_{xy}\\ 2{\epsilon}_{xz}={\gamma}_{x}\\ 2{\epsilon}_{yz}={\gamma}_{y}\end{array}\end{split}\]

où \({e}_{xx},{e}_{yy}\) et \({e}_{xy}\) sont les déformations membranaires de la surface moyenne, \({\gamma}_{x}\) et \({\gamma}_{y}\) les déformations associées aux cisaillements transverses, et \({\kappa}_{xx},{\kappa}_{yy},{\kappa}_{xy}\) les déformations de flexion (ou variations de courbure) de la surface moyenne, qui s’écrivent:

(2.3)#\[\begin{split}\begin{array}{c}{e}_{xx}=\frac{\partial u}{\partial x}\\ {e}_{yy}=\frac{\partial v}{\partial y}\\ 2{e}_{xy}=\frac{\partial v}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial y}\\ {\kappa}_{xx}=\frac{\partial {\beta}_{x}}{\partial x}\\ {\kappa}_{yy}=\frac{\partial {\beta}_{y}}{\partial y}\\ 2{\kappa}_{xy}=\frac{\partial {\beta}_{x}}{\partial y}+\frac{\partial {\beta}_{y}}{\partial x}\\ {\gamma}_{x}={\beta}_{x}+\frac{\partial w}{\partial x}\\ {\gamma}_{y}={\beta}_{y}+\frac{\partial w}{\partial y}\end{array}\end{split}\]

Remarque:

Dans les théories de plaque l’introduction de \({\beta}_{x}\) et \({\beta}_{y}\) permet de symétriser les formulations des déformations et, nous le verrons par la suite, les équations d’équilibre. Dans les théories de coque on utilise plutôt \({\theta}_{x}\) et \({\theta}_{y}\) et les couples associés \({M}_{x}\) et \({M}_{y}\) par rapport à \(x\) et \(y\) .

2.2.2. Loi de comportement#

Le comportement des plaques est un comportement 3D en « contraintes planes ». La contrainte transversale \({\sigma}_{zz}\) est nulle car considérée comme négligeable par rapport aux autres composantes du tenseur des contraintes (hypothèse des contraintes planes). La loi de comportement la plus générale s’écrit alors ainsi:

(2.4)#\[ \begin{align}\begin{aligned}\begin{split}(\begin{array}{c}{\sigma}_{xx}\\ {\sigma}_{yy}\\ {\sigma}_{xy}\\ {\sigma}_{xz}\\ {\sigma}_{yz}\end{array})=\text{C}(e,\alpha )(\begin{array}{c}{\varepsilon}_{xx}\\ {\varepsilon}_{yy}\\ {\gamma}_{xy}\\ {\gamma}_{x}\\ {\gamma}_{y}\end{array})=\text{Ce}+z\text{C}\kappa +\text{C}\gamma\end{split}\\\textrm{avec}\\\begin{split}e=(\begin{array}{c}{e}_{xx}\\ {e}_{yy}\\ 2{e}_{xy}\\ 0\\ 0\end{array}),\kappa =(\begin{array}{c}{\kappa}_{xx}\\ {\kappa}_{yy}\\ 2{\kappa}_{xy}\\ 0\\ 0\end{array})\text{et}\gamma =(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\\ {\gamma}_{x}\\ {\gamma}_{y}\end{array}).\end{split}\end{aligned}\end{align} \]

où \(\text{C}(e,\alpha )\) est la matrice de rigidité tangente locale combinant contraintes planes et distorsion transverse et \(\alpha\) représente l’ensemble des variables internes lorsque le comportement est non linéaire.

Pour des comportements où les distorsions transverses sont découplées des déformations de membrane et de flexion, \(\text{C}(e,\alpha )\) se met sous la forme:

(2.5)#\[\begin{split}\text{C}=(\begin{array}{cc}\text{H}& 0\\ 0& {\text{H}}_{\gamma}\end{array})\end{split}\]

où \(\text{H}(e,\alpha )\) est une matrice \(3\times 3\) et \({\text{H}}_{\gamma}(e,\alpha )\) une matrice \(2\times 2\) . On restera dans le cadre de cette hypothèse.

Pour un comportement élastique linéaire homogène isotrope, on a ainsi:

(2.6)#\[\begin{split}\text{C}=\frac{E}{1-{v}^{2}}(\begin{array}{ccccc}1& v& 0& 0& 0\\ v& 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& \frac{1-v}{2}& 0& 0\\ 0& 0& 0& \frac{k(1-v)}{2}& 0\\ 0& 0& 0& 0& \frac{k(1-v)}{2}\end{array})\end{split}\]

où \(k\) est facteur de correction de cisaillement transverse dont la signification est donnée au paragraphe suivant.

Remarque:

On ne décrit pas la variation de l’épaisseur ni celle de la déformation transversale \({e}_{zz}\) que l’on peut cependant calculer en utilisant l’hypothèse précédente de contraintes planes. Par ailleurs aucune restriction n’est faite sur le type de comportement que l’on peut représenter.

2.2.3. Prise en compte du cisaillement transverse [2]#

La prise en compte du cisaillement transverse dépend de facteurs de correction déterminés a priori par des équivalences énergétiques avec des modèles 3D, de façon à ce que la rigidité en cisaillement transverse du modèle de plaque soit la plus proche possible de celle définie par la théorie de l’élasticité tridimensionnelle. Deux théories incluant la déformation due à l’effort tranchant existent et sont présentées dans [2].

2.2.3.1. La théorie dite de Hencky#

Cette théorie ainsi que celle de Love-Kirchhoff qui en découle immédiatement repose sur la cinématique présentée au §2.2.1. La relation de comportement est habituelle et le facteur de correction de cisaillement vaut \(k=1\) .

Remarque:

Lorsque l’on ne prend pas en compte les distorsions transverses \({\gamma}_{x}\) et \({\gamma}_{y}\) dans la théorie de Hencky, le modèle obtenu est celui de Love-Kirchhoff (éléments finis DKT(G) et DKQ(G)). Les deux rotations de la surface moyenne sont alors liées aux déplacements de la surface moyenne par la relation suivante:

\(\begin{array}{c}{\beta}_{x}=-\frac{\partial w}{\partial x}\\ {\beta}_{y}=-\frac{\partial w}{\partial y}\end{array}\)

2.2.3.2. La théorie dite de Reissner (DST, DSQ et Q4g)#

La seconde théorie, dite de Reissner, est développée à partir des contraintes. La variation des contraintes de membrane (\({\sigma}_{xx}\) , \({\sigma}_{yy}\) et \({\sigma}_{xy}\) ) est supposée linéaire dans l’épaisseur comme dans le cas de la théorie de Hencky où cela résulte de la linéarité de la variation des déformations de membrane avec l’épaisseur.

Cependant, alors que l’on suppose, dans la théorie de Hencky que la distorsion est constante dans l’épaisseur et donc les contraintes de cisaillement, ce qui viole les conditions aux limites \({\sigma}_{xz}={\sigma}_{yz}=0\) sur les faces supérieure et inférieure de la plaque du fait de la loi de comportement énoncée au §2.2.2., on utilise dans le cadre de la théorie de Reissner les équations d’équilibre pour en déduire la variation des contraintes de cisaillement dans l’épaisseur de la plaque, en respectant notamment les conditions d’équilibre sur les faces supérieure et inférieure de plaque. L’énergie interne du modèle obtenue après résolution des équations d’équilibre en 3D, pour de la flexion uniquement, avec la variation des contraintes planes suivant \(z\) , fait apparaître, pour un matériau élastique, une relation entre les efforts résultants et les rotations et la flèche moyennes. C’est dans cette relation qu’apparaît le facteur de correction de cisaillement de \(k=5/6\) au lieu de \(1\) dans la relation qui lie l’effort tranchant à la distorsion pour une plaque homogène et isotrope. La détermination des facteurs de correction de cisaillement pour des plaques orthotropes ou des plaques stratifiées est décrite en annexe.

2.2.3.3. Équivalence des approches Hencky-Love-Kirchhoff et Reissner#

Si l’on assimile les pentes de la surface moyenne \({\beta}_{x},{\beta}_{y}\) aux moyennes des pentes dans l’épaisseur de la plaque et la flèche \(w\) à la flèche moyenne, la seule différence entre la théorie de Hencky et celle de Reissner est le coefficient de correction de cisaillement transverse en élasticité isoptrope homogène de \(5/6\) au lieu de \(1\) . Cette différence est due au fait que les hypothèses de départ sont de nature différente et surtout que les variables choisies ne sont pas les mêmes. En effet, la flèche sur la surface moyenne n’est pas égale à la moyenne des flèches sur l’épaisseur de la plaque. Il est donc normal que des relations de comportement qui font intervenir des variables différentes ne soient pas identiques.

Le fait de devoir résoudre au niveau éléments finis des problèmes en déplacements plutôt que des problèmes en contraintes par interpolation des déplacements nous amène à utiliser l’approche équivalente en déplacements du problème de Reissner formulé en contraintes.

2.2.3.4. Remarques#

Du fait de l’équivalence précédente on ne présente ici que le modèle en déplacement pour tous les éléments. Dans les faits les éléments DKT, DKTG, DKQG et DKQ reposent sur la théorie de Hencky-Love-Kirchhoff et les éléments DST, DSQ et Q4G reposent sur la théorie de Reissner.

La détermination des facteurs de correction repose dans le cadre d’une autre théorie, celle de Mindlin, sur des équivalences de fréquence propre associée au mode de vibration par cisaillement transverse. On obtient alors \(k={\pi}^{2}/12\) , valeur très proche de \(5/6\) pour les éléments DST, DSQ et Q4G dans le cas isotrope.

Dans le cadre de la plasticité le problème du choix du coefficient de correction du cisaillement transverse se pose car l’approche équivalente en déplacements du problème de Reissner formulé en contraintes fait intervenir la non-linéarité du comportement. On ne peut donc pas en déduire, comme c’est le cas pour des matériaux élastiques une valeur du coefficient de correction du cisaillement transverse. La plasticité (et autres comportements non linéaires) n’est donc pas développée pour ces éléments.

2.2.3.5. Calcul de la contrainte de cisaillement et de la distorsion transverse dans code_aster#

Le calcul de la contrainte de cisaillement s’effectue en considérant :

  • les équations d’équilibre en contrainte et en effort généralisé:

(2.7)#\[ \begin{align}\begin{aligned}\begin{split}\begin{array}{}{\partial}_{z}{\tau}_{xz}={\partial}_{x}{\sigma}_{xx}+{\partial}_{y}{\sigma}_{xy}\\ {\partial}_{z}{\tau}_{yz}={\partial}_{y}{\sigma}_{yy}+{\partial}_{x}{\sigma}_{xy}\end{array}\end{split}\\\textrm{;}\\\begin{split}\begin{array}{}{\partial}_{x}{M}_{xx}+{\partial}_{y}{M}_{xy}={T}_{x}\\ {\partial}_{y}{M}_{yy}+{\partial}_{x}{M}_{xy}={T}_{y}\end{array}\end{split}\end{aligned}\end{align} \]

  • les conditions de bord libre \({\sigma}_{xz}(-h/2)={\sigma}_{yz}(h/2)=0\) sur les faces supérieures et inférieures;

  • des relations reliant les contraintes planes aux dérivées des moments:

(2.8)#\[\begin{split}\begin{array}{c}{\partial}_{x}{\sigma}_{xx}=12/{h}^{3}\cdot z\cdot {\partial}_{x}\mathit{Mxx}\\ {\partial}_{x}{\sigma}_{yy}=12/{h}^{3}\cdot z\cdot {\partial}_{y}\mathit{Myy}\\ {\partial}_{x}{\sigma}_{xy}=12/{h}^{3}\cdot z\cdot {\partial}_{y}\mathit{Mxy}\end{array}\end{split}\]

Soit après intégration analytique par rapport à la variable \(z\) de \({\sigma}_{xz}(z),{\sigma}_{yz}(z)\) et identification des coefficients de la primitive:

  • l’expression de la contrainte de cisaillement:

\({\sigma}_{xz}={T}_{x}\cdot 3/2h\ast (1-4{z}^{2}/{h}^{2})\) \({\sigma}_{yz}={T}_{y}\cdot 3/2h\cdot (1-4{z}^{2}/{h}^{2})\)

  • l’expression de la déformation de cisaillement dans le cadre de la théorie de Reissner:

\({\gamma}_{x}={\tau}_{xz}\cdot 2(1+\nu )/\mathit{Ek}\) \({\gamma}_{y}={\tau}_{yz}\cdot 2(1+\nu )/\mathrm{Ek}\) avec \(k\) le coefficient de correction en cisaillement

  • l’expression de la déformation de cisaillement dans le cadre de la théorie de Kirchoff:

\({\gamma}_{x}={\tau}_{xz}\cdot 2(1+\nu )/\mathrm{Ek}-{\partial}_{x}w\) \({\gamma}_{y}={\tau}_{yz}\cdot 2(1+\nu )/\mathit{Ek}-{\partial}_{y}w\)

Il s’agit d’une approximation qu’on retrouve également dans [3] (eq 9).

On généralise l’expression des contraintes de cisaillement en introduisant une fonction \(d1\mathit{iel}(z)\) telle que:

\({\sigma}_{xz}={T}_{x}\cdot d1\mathit{iel}(z)\) \({\sigma}_{yz}={T}_{y}\cdot d1\mathit{iel}(z)\)

Dans les cas classiques, on a: \(d1\mathit{iel}(z)=3/(2h)\cdot (1-4{z}^{2}/{h}^{2})\) .

Dans des cas plus généraux (en présence de l’excentrement par exemple) \(d1\mathit{iel}(z)\) doit être modifiée pour prendre en compte le phénomène en présence. Pour approximer correctement la contrainte de cisaillement, on fait le choix de postuler une forme quadratique générale pour \(d1\mathit{iel}(z)=a\cdot {z}^{2}+b\cdot z+c\) telle que les conditions suivantes soient respectées:

  • \(\underset{-h/2}{\overset{h/2}{\int}}d1\mathit{iel}(z)=1\) relation effort tranchant-contraintes

  • \(d1\mathit{iel}(z=-h/2)=0;d1\mathit{iel}(z=h/2)=0\) condition de bords libres

La première condition permet de respecter automatiquement les relations d’équilibre en élasticité linéaire tandis que la deuxième permet de retrouver des résultats corrects sur les bords non contraints. L’extension de ces relations à la plasticité n’est pas trivial. Toutefois, en plasticité, on choisit de garder une description élastique linéaire des contraintes de cisaillement.

L’expression de \(d1\mathit{iel}(z)\) dans le cas de l’excentrement est explicitée dans la doc de référence dédiée[R3.07.06].