3. Formulation variationnelle

3.1. Travail virtuel

Figure 3.1-a: Coque volumique.Pression suiveuse sur la surface moyenne initiale et sa transformée

Le travail virtuel d’une pression suiveuse \(p\) (c’est-à-dire agissant sur la surface moyenne transformée et se déplaçant avec) peut être exprimé sous la forme:

\(\delta {\pi}_{\begin{array}{}\mathrm{pression}\\ \mathrm{suiveuse}\end{array}}=-{\int}_{{\omega}^{\varphi}}\delta {u}_{p}.pd{\omega}^{\varphi}\)

Si l’on utilise l’élément de surface isoparamétrique correspondant à notre modélisation de coque volumique, la surface \(d{\omega}^{\varphi}\) s’exprime directement en fonction des coordonnées isoparamétriques \(d{\xi}_{1}d{\xi}_{2}\) et on obtient la forme simple suivante de l’équation ci-dessus:

\(\delta {\pi}_{\begin{array}{}\mathrm{pression}\\ \mathrm{suiveuse}\end{array}}=-{\int}_{\left[-1,+1\right]\times \left[-1,+1\right]}\delta {u}_{p}.p({\xi}_{1},{\xi}_{2}){a}_{1}^{\varphi}({\xi}_{1},{\xi}_{2})\times {a}_{2}^{\varphi}({\xi}_{1},{\xi}_{2})d{\xi}_{1}d{\xi}_{2}\)

3.2. Opérateur tangent

Comme le travail virtuel de la pression suiveuse dépend de la configuration courante, sa variation linéaire \(\Delta\) n’est pas nulle et doit être prise en compte. L’opérateur tangent associé à ce travail virtuel s’écrit à l’itération \((i+1)\) sous la forme:

\(L\left[\Delta \delta {\pi}_{\begin{array}{}\mathrm{pression}\\ \mathrm{suiveuse}\end{array}}^{(i+1)}\right]=\delta {\pi}_{\begin{array}{}\mathrm{pression}\\ \mathrm{suiveuse}\end{array}}^{(i)}+\Delta \delta {\pi}_{\begin{array}{}\mathrm{pression}\\ \mathrm{suiveuse}\end{array}}^{(i)}\)

où \(\Delta \delta {\pi}_{\begin{array}{}\mathrm{pression}\\ \mathrm{suiveuse}\end{array}}^{(i)}\) est l’incrément entre deux itérations du travail virtuel de la pression suiveuse. Si la pression est donnée sous la forme:

\(p=\lambda {p}_{0}\)

\(\lambda\) étant le niveau de charge qui est fixe durant les itérations (pilotage en charge \(\Delta \lambda =0\) ), on peut écrire:

\(\Delta \delta {\pi}_{\begin{array}{}\mathrm{pression}\\ \mathrm{suiveuse}\end{array}}=-{\int}_{\left[-1,+1\right]\times \left[-1,+1\right]}\delta {u}_{p}.p({a}_{1}^{\varphi}\times \Delta {a}_{2}^{\varphi}-{a}_{2}^{\varphi}\times \Delta {a}_{1}^{\varphi})d{\xi}_{1}d{\xi}_{2}\)

Les variations incrémentales des vecteurs de la base locale tangente à la transformée de la surface moyenne sont données par:

\(\begin{array}{}{\Delta a}_{1}^{\varphi}=\frac{\partial}{\partial {\xi}_{1}}{\Delta u}_{P}\\ {\Delta a}_{2}^{\varphi}=\frac{\partial}{\partial {\xi}_{2}}{\Delta u}_{P}\end{array}\)

puisque la surface moyenne initiale ne “bouge” pas pendant les itérations ce qui entraîne \(\Delta {x}_{P}=0\) .

Ces calculs permettent finalement d’établir l’expression de l’incrément du travail virtuel de pression suiveuse sous la forme:

\(\Delta \delta {\pi}_{\begin{array}{}\mathrm{pression}\\ \mathrm{suiveuse}\end{array}}=-{\int}_{\left[-1,+1\right]\times \left[-1,+1\right]}\delta {u}_{P}\cdot P(\left[{a}_{1}^{\varphi}\times \right]\frac{\partial}{\partial {\xi}_{2}}\Delta {u}_{P}-\left[{a}_{2}^{\varphi}\times \right]\frac{\partial}{\partial {\xi}_{2}}\Delta {u}_{P})d{\xi}_{1}d{\xi}_{2}\)

où \(\left[{a}_{1}^{\varphi}\times \right]\mathrm{et}\left[{a}_{2}^{\varphi}\times \right]\) sont respectivement les matrices antisymétriques des vecteurs tangents \({a}_{1}^{\varphi}\mathrm{et}{a}_{2}^{\varphi}\) respectivement.

Remarque:

Dans la référence [bib2], une intégration par partie est entreprise sur l’expression ci-dessus. Il est montré que la matrice tangente peut être décomposée en une partie symétrique issue d’une intégration sur le domaine et d’une partie anti-symétrique issue de l’intégration sur le contour. II est aussi montré que l’assemblage des parties antisymétriques des matrices tangentes élémentaires conduit à une matrice nulle quand la pression est continue d’un élément fini à un autre, du fait de l’existence d’un potentiel associé au travail de la pression dans ce cas là.