2. Cinématique#
Pour les éléments de coque volumique \(\Omega\) on définit une surface de référence \(\omega\) , ou surface moyenne, gauche ( de coordonnées curvilignes \({\xi}_{1}{\xi}_{2}\) par exemple) et une épaisseur \(h({\xi}_{1}{\xi}_{2})\) mesurée selon la normale à la surface moyenne. La position des points de la coque est donnée par les coordonnées curvilignes \(({\xi}_{1},{\xi}_{2})\) de la surface moyenne \(\omega\) et l’élévation \({\xi}_{3}\) par rapport à cette surface.
On rappelle la grande transformation subie par la coque:
\({\omega}^{\varphi}\) (ensemble des points \({P}^{\varphi}\) à \({\xi}_{3}=0\) ) est la transformée de la surface moyenne initiale \(\omega\) (ensemble des points \(Pà{\xi}_{3}=0\) ).
La position du point \({P}^{\varphi}\) sur la configuration déformée peut être établie en fonction de la position du point initial \(P\) comme suit:
\({x}_{P}^{\varphi}({\xi}_{1},{\xi}_{2})={x}_{P}({\xi}_{1},{\xi}_{2})+{u}_{P}({\xi}_{1},{\xi}_{2})\) .
Figure 2-a: Coque volumique.Grandes transformations d’une fibre initialement normale à la surface moyenne
2.1. Paramétrisation de la transformée de la surface moyenne#
La transformée \({w}^{j}\) peut être paramétrisée d’une façon similaire à la paramétrisation de la surface initiale. Ainsi on peut définir l’élément infinitésimal de vecteur tangent à \({w}^{j}\) :
\(\begin{array}{}{\text{dx}}_{P}^{\varphi}({\xi}_{1},{\xi}_{2})=\frac{\partial {x}_{P}^{\varphi}}{\partial {\xi}_{1}}d{\xi}_{1}+\frac{\partial {x}_{P}^{\varphi}}{\partial {x}_{1}}d{\xi}_{2}\\ {\text{dx}}_{P}^{\varphi}({\xi}_{1},{\xi}_{2})=d{\xi}_{1}{a}_{1}^{\varphi}({x}_{1},{x}_{2})+d{\xi}_{2}{a}_{2}^{\varphi}({\xi}_{1},{\xi}_{2})\end{array}\)
où \(\left[{a}_{1}^{\varphi}({\xi}_{1},{\xi}_{2});{a}_{2}^{\varphi}({\xi}_{1},{\xi}_{2})\right]\) représente une base naturelle non orthogonale \(({a}_{1}^{\varphi}.{a}_{2}^{\varphi}\ne 0)\) et non normée \((\parallel {a}_{1}^{\varphi}\parallel \ne 1;\parallel {a}_{1}^{\varphi}\parallel \ne 1)\) tangente à la surface \({\omega}^{\varphi}\) . Les deux vecteurs de base peuvent être liés aux déplacements via la formule suivante:
\(\begin{array}{}{a}_{1}^{\varphi}({\xi}_{1},{\xi}_{2})=\frac{\partial {x}_{P}^{\varphi}}{\partial {\xi}_{1}}=\frac{\partial ({x}_{p}+{u}_{p})}{\partial {\xi}_{1}}\\ {a}_{2}^{\varphi}({\xi}_{1},{\xi}_{2})=\frac{\partial {x}_{P}^{\varphi}}{\partial {\xi}_{2}}=\frac{\partial ({x}_{p}+{u}_{p})}{\partial {\xi}_{2}}\end{array}\)
ce qui permet de les relier aux vecteurs de la base naturelle liée à la surface initiale \(w\) par les relations:
\(\begin{array}{}{a}_{1}^{\varphi}({\xi}_{1},{\xi}_{2})={a}_{1}({\xi}_{1},{\xi}_{2})+\frac{\partial {u}_{p}}{\partial {\xi}_{1}}\\ {a}_{2}^{\varphi}({\xi}_{1},{\xi}_{2})={a}_{2}({\xi}_{1},{\xi}_{2})+\frac{\partial {u}_{p}}{\partial {\xi}_{2}}\end{array}\)
Il est important de noter que ces vecteurs sont distincts des vecteurs obtenus par la grande rotation \(\Lambda\) des vecteurs \({a}_{1}({\xi}_{1},{\xi}_{2});{a}_{2}({\xi}_{1},{\xi}_{2})\) :
\(\begin{array}{}{a}_{1}^{\varphi}({\xi}_{1},{\xi}_{2})\ne \Lambda ({\xi}_{1},{\xi}_{2}){a}_{1}({\xi}_{1},{\xi}_{2})\\ {a}_{2}^{\varphi}({\xi}_{1},{\xi}_{2})\ne \Lambda ({\xi}_{1},{\xi}_{2}){a}_{2}({\xi}_{1},{\xi}_{2})\end{array}\)
En effet, du fait de la déformation due au cisaillement transverse, les vecteurs tournés ne sont plus tangents à \({\omega}^{\varphi}\) . L’illustration de cela est donnée par la [Figure 3.1-a].
Avec cette paramétrisation, le vecteur infinitésimal élément de surface qui est perpendiculaire à \({\omega}^{\varphi}\) peut s’écrire:
\(d{\omega}^{\varphi}({\xi}_{1},{\xi}_{2})={a}_{1}^{\varphi}({\xi}_{1},{\xi}_{2})\times {a}_{2}^{\varphi}({\xi}_{1},{\xi}_{2})d{\xi}_{1}d{\xi}_{2}\)