4. Discrétisation

Aux points \(P\) de la surface moyenne, l’interpolation du déplacement virtuel s’écrit:

\(\delta u({\xi}_{1,}{\xi}_{2})=\sum_{I=1}^{\text{NB}1}{N}_{I}^{(1)}({\xi}_{1,}{\xi}_{2}){(\begin{array}{}\delta u\\ \delta v\\ \delta w\end{array})}_{I}\)

et l’interpolation du déplacement incrémental entre deux itérations s’écrit:

\(\delta u({\xi}_{1,}{\xi}_{2})=\sum_{I=1}^{\text{NB}1}{N}_{I}^{(1)}({\xi}_{1,}{\xi}_{2}){(\begin{array}{}\Delta u\\ \Delta v\\ \Delta w\end{array})}_{I}\)

Nous réécrivons les deux équations précédentes sous la forme matricielle:

\(\begin{array}{}\delta u({\xi}_{1},{\xi}_{2})=\left[N\right]{\left\lbrace \delta u\right\rbrace }^{e}\\ \Delta u({\xi}_{1},{\xi}_{2})=\left[N\right]{\left\lbrace \Delta u\right\rbrace }^{e}\end{array}\)

où \(\left[N\right]\) est la matrice des fonctions de forme de translation à la surface moyenne, dont l’expression est:

\(\left[N\right]=\left[\text{...}{\left[{N}_{I}^{(1)}\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right]\right]}_{I=1,\text{NB}1}\text{...}{\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right]}_{\text{NB}2}\right]\)

Les fonctions de forme \({N}_{I}^{(1)}\text{et}{N}_{I}^{(2)}\) (utilisées par la suite sont données en annexe de [R3.07.04]. Les nœuds \(I=1,\text{NB}1\) sont les nœuds sommets et les milieux des côtés (pour le quadrangle et le triangle). Le nœud \(\text{NB}2\) est au barycentre de l’élément.

Le vecteur \({\left\lbrace \delta u\right\rbrace }^{e}\) est le vecteur nodal des déplacements virtuels donné par:

\({\left\lbrace \delta u\right\rbrace }^{e}=(\begin{array}{}.\\ .\\ .\\ {(\begin{array}{}\delta w\\ \delta {\theta}_{x}\\ \delta {\theta}_{y}\\ \delta {\theta}_{z}\end{array})}_{I}\\ .\\ .\\ .\\ I=1,\mathrm{NB1}\\ \\ {(\begin{array}{}\delta {\theta}_{x}\\ \delta {\theta}_{x}\\ \delta {\theta}_{x}\end{array})}_{\mathrm{NB2}}\end{array})\)

Le vecteur \({\left\lbrace \Delta u\right\rbrace }^{e}\) est le vecteur nodal des déplacements incrémental entre deux itérations.

\({\left\lbrace \Delta u\right\rbrace }^{e}=(\begin{array}{}.\\ .\\ .\\ {(\begin{array}{}\Delta u\\ \Delta v\\ \Delta w\\ \Delta {\theta}_{x}\\ \Delta {\theta}_{y}\\ \Delta {\theta}_{z}\end{array})}_{I}\\ .\\ .\\ .\\ I=1,\mathrm{NB1}\\ \\ {(\begin{array}{}\Delta {\theta}_{x}\\ \Delta {\theta}_{x}\\ \Delta {\theta}_{x}\end{array})}_{\mathrm{NB2}}\end{array})\)

Cette discrétisation nous permet aussi d’établir l’expression des dérivées du déplacement incrémental de la surface moyenne par rapport aux coordonnées isoparamétriques surfaciques sous la forme:

\(\begin{array}{}\frac{\partial}{\partial {\xi}_{1}}\Delta u({\xi}_{1,}{\xi}_{2})=\left[\frac{\partial}{\partial {\xi}_{2}}N\right]{\left\lbrace \Delta u\right\rbrace }^{e}\\ \frac{\partial}{\partial {\xi}_{2}}\Delta u({\xi}_{1,}{\xi}_{2})=\left[\frac{\partial}{\partial {\xi}_{2}}N\right]{\left\lbrace \Delta u\right\rbrace }^{e}\end{array}\)

où \(\left[\frac{\partial}{\partial {\xi}_{1}}N\right]\text{et}\left[\frac{\partial}{\partial {\xi}_{2}}N\right]\) sont les matrices dérivées des fonctions de formes de translation à la surface moyenne, dont les expressions sont:

\(\begin{array}{}\left[\frac{\partial}{\partial {\xi}_{1}}N\right]=\left[\mathrm{...}{\left[\frac{\partial {N}_{I}^{(1)}}{\partial {\xi}_{1}}\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right]\right]}_{I=1,\text{NB}1}\mathrm{...}{\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right]}_{\text{NB}2}\right]\\ \left[\frac{\partial}{\partial {\xi}_{2}}N\right]=\left[\mathrm{...}{\left[\frac{\partial {N}_{I}^{(1)}}{\partial {\xi}_{2}}\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right]\right]}_{I=1,\text{NB}1}\mathrm{...}{\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right]}_{\text{NB}2}\right]\end{array}\)

Ainsi on peut exprimer le travail virtuel de la pression suiveuse sous la forme matricielle suivante:

\(\delta {\pi}_{\begin{array}{}\mathrm{pression}\\ \mathrm{suiveuse}\end{array}}=\left\lbrace \delta {u}^{e}\right\rbrace .\left\lbrace {f}_{\begin{array}{}\mathrm{pression}\\ \mathrm{suiveuse}\end{array}}^{e}\right\rbrace\)

avec \(\left\lbrace {f}_{\begin{array}{}\mathrm{pression}\\ \mathrm{suiveuse}\end{array}}^{e}\right\rbrace\) le vecteur nodal des forces externes qui peut être exprimé de la manière suivante:

\(\left\lbrace {f}_{\begin{array}{}\mathrm{pression}\\ \mathrm{suiveuse}\end{array}}^{e}\right\rbrace ={\int}_{\left[-1,+1\right]\times \left[-1,+1\right]}{\left[N\right]}^{T}({a}_{1}^{\varphi}\times {a}_{1}^{\varphi})d{\xi}_{1}d{\xi}_{2}\)

Il est important de noter qu’avec notre paramétrisation de la transformée de la surface moyenne, le jacobien \(\det(\left[J({\xi}_{3}=0)\right])\) de cette surface n’est pas impliqué dans le calcul des objets éléments finis.

On notera aussi que la pression est discrétisée avec une interpolation isoparamétrique des valeurs aux NB2 nœuds:

\(p({\xi}_{1},{\xi}_{2})=\sum_{I=1}^{\text{NB}2}{N}_{I}^{(2)}({\xi}_{1},{\xi}_{2}){p}_{I}\)

On peut aussi exprimer l’incrément entre deux itérations du travail virtuel de la pression suiveuse sous la forme matricielle:

\(\Delta \delta {\pi}_{\begin{array}{}\mathrm{pression}\\ \mathrm{suiveuse}\end{array}}=-\lbrace \delta {u}^{e}\rbrace \lbrace {K}_{T}^{e}{}_{\begin{array}{}\mathrm{pression}\\ \mathrm{suiveuse}\end{array}}\rbrace \lbrace \Delta {u}^{e}\rbrace\)

où \(\lbrace {K}_{T}^{e}{}_{\begin{array}{}\mathrm{pression}\\ \mathrm{suiveuse}\end{array}}\rbrace\) est la contribution dans la matrice tangente de rigidité des forces externes qui peut être exprimée sous la forme:

\(\lbrace {K}_{T}^{e}{}_{\begin{array}{}\mathrm{pression}\\ \mathrm{suiveuse}\end{array}}\rbrace ={\int}_{\left[-1,+1\right]\times \left[-1,+1\right]}\left[N\right]p\left[{a}_{1}^{\varphi}\times \right]\left[\frac{\partial}{\partial {\xi}_{2}}N\right]d{\xi}_{1}d{\xi}_{2}-{\int}_{\left[-1,+1\right]\times \left[-1,+1\right]}\left[N\right]p\left[{a}_{2}^{\varphi}\times \right]\left[\frac{\partial}{\partial {\xi}_{1}}N\right]d{\xi}_{1}d{\xi}_{2}\)

Remarque:

On constate que les formulations éléments finis issues de cette approche ne font pas intervenir les degrés de liberté de rotations. Le traitement est donc aussi valable pour les facettes des éléments finis de l’élasticité tridimensionnelle.