2. Obtention d’une formulation variationnelle#

On peut obtenir la formulation variationnelle d’un problème à partir des équations aux dérivées partielles, en multipliant celles-ci par des fonctions tests et en intégrant par parties. En mécanique des solides, la formulation faible alors obtenue est identique à celle donnée par le Principe des Travaux Virtuels et dans le cas conservatif, la minimisation de l’énergie potentielle totale de la structure. Notons cependant que pour certains problèmes, les équations du modèle sont plus faciles à établir dans le cadre variationnel (cas des plaques et des coques par exemple).

2.1. Modélisation du problème physique – Principes et notation#

Un système physique est le plus souvent modélisé par des équations aux dérivées partielles qui agissent sur des inconnues \(u\) qui peuvent être:

Un scalaire comme la température dans les problèmes de thermique;
Un vecteur comme les déplacements dans les problèmes de mécanique;
Un tenseur comme les contraintes dans les problèmes de mécanique;

On peut également utiliser plusieurs champs d’inconnues simultanément, reliés par des équations aux dérivées partielles. Ce sont des problèmes couplés . Dans Code_Aster, on peut citer comme exemple les problèmes de thermo-hydro-mécanique qui couplent déplacements, pression et température.

Les champs d’inconnues sont paramétrés par:

L’espace, qui peut être décrit par un système de coordonnées cartésiennes ou n’importe quel autre type de paramétrisation. Dans la suite du document, on le notera \(x\) ;
Le temps, noté \(t\) ;

2.2. Équations du système#

Un système physique continu peut être représenté par un système d’équations aux dérivées partielles que l’on écrira dans le domaine \(\Omega\) :

(2.1)#\[\mathrm{L}(\mathrm{u})+\mathrm{f}=0\text{dans}\Omega\]

Ce système est associé aux conditions aux limites sur la frontière \(\Gamma\) du domaine \(\Omega\) :

(2.2)#\[C(u)=h\text{sur}\Gamma =\partial \Omega\]

L’opérateur différentiel peut s’exprimer sur plusieurs équations aux dérivées partielles. On pourrait écrire:

(2.3)#\[\begin{split}\begin{array}{}{L}_{1}(u)+{f}_{1}=0\\ {L}_{2}(u)+{f}_{2}=0\\ \dots \end{array}\end{split}\]

\({L}_{i}(u)\) est un opérateur différentiel agissant sur le vecteur des inconnues \(u\) . De manière plus générale, l’opérateur différentiel \({L}_{i}(u)\) s’écrit en fonction des inconnues et de leurs dérivées partielles:

(2.4)#\[{L}_{i}(u,\frac{\partial u}{\partial {x}_{1}},\dots ,\frac{{\partial}^{2}u}{\partial {x}_{1}.\partial {x}_{2}},\dots ,\frac{{\partial}^{m}u}{\partial {x}_{\alpha}^{m}},t,\frac{\partial u}{\partial t},\dots ,\frac{{\partial}^{p}u}{\partial {t}^{p}},)\]

Un tel opérateur est dit d’ordre \(m\) en espace et d’ordre \(p\) en temps. S’il ne dépend pas du temps (et de ses dérivées), on dit que le problème est stationnaire. Dans la suite du document on ne considérera que les problèmes stationnaires.

2.3. Méthode des résidus pondérés – Formulation intégrale forte#

On va définir le résidu \(R(u)\) comme étant la quantité s’annulant quand \(u\) est la solution du problème physique:

(2.5)#\[R(u)=L(u)-f=0\text{dans}\Omega\]

La méthode des résidus pondérés consiste:

1/ A construire une solution approchée \(u\) par la combinaison linéaire de fonctions judicieusement choisies

(2.6)#\[u(x)=\sum_{i=1}^{N}{c}_{i}.{\phi }_{i}(x)\]

Où \({\phi }_{i}(x)\) sont les fonctions de forme de l’approximation et \({c}_{i}\) des coefficients à identifier.

2/ A résoudre le système sous forme intégrale:

(2.7)#\[\begin{split}\begin{array}{c}\text{Trouver}\mathrm{u}\in {E}_{u}\text{tel que}\forall \mathrm{P}\in {E}_{P}\\ \text{Avec}W=\underset{\Omega}{\int}\mathrm{R}(\mathrm{u}).\mathrm{P}(\mathrm{u}).d\Omega +\underset{\Gamma}{\int}[\mathrm{C}(\mathrm{u})-\mathrm{h}].\mathrm{P}(\mathrm{u}).d\Omega =0\end{array}\end{split}\]

Nous avons utilisé les mêmes fonctions de pondération pour le système principal et pour les conditions limites, mais ce n’est pas obligatoire. \(P(u)\) sont les fonctions de pondération appartenant à un ensemble de fonctions \({E}_{P}\) . La solution \(u\) appartient à l’espace \({E}_{u}\) des fonctions «suffisamment» régulières (dérivables jusqu’à l’ordre m ).

Le choix des fonctions de pondération \(P(u)\) permet de dégager plusieurs méthodes:

Si la fonction \(P(u)\) est une distribution de Dirac, on obtient la méthode de collocation par points.
Si la fonction \(P(u)\) est constante sur des sous-domaines, on obtient la méthode de collocation par sous-domaines.
Si les fonctions de pondération \(P(u)\) utilisent les mêmes fonctions de forme \({\phi }_{i}(x)\) que l’approximation de la solution (), on obtient la méthode de Galerkin.

On obtient ainsi la forme intégrale forte .

2.4. Formulation intégrale faible#

La formulation intégrale () requiert des espaces de fonction dérivables à l’ordre \(m\) pour \({E}_{u}\) . La formulation faible consiste à réaliser une intégration par parties (par application de la formule de Green) du système (). En contrepartie on augmente les exigences de régularité sur les fonctions de pondérations \(P(u)\) . La formule de Green s’énonce comme suit:

(2.8)#\[\underset{\Omega}{\int}\mathrm{u}.\nabla .\mathrm{P}.d\Omega =-\underset{\Omega}{\int}\mathrm{P}.\nabla .\mathrm{u}.d\Omega +\underset{\Gamma}{\int}\mathrm{u}.\mathrm{P}.\mathrm{n}.d\Gamma\]

où \(n\) est la normale sortante à la frontière \(\Gamma\) du domaine.