3. Méthode des éléments finis#
3.1. Principes généraux#
La recherche d’une fonction approchée idoine sur tout le domaine devient difficile dans le cas général d’une géométrie de forme quelconque. L’idée de la méthode des éléments finis est donc de construire cette approximation en deux temps:
Identifier des sous-domaines \({\Omega}_{e}\) géométriquement simples qui pavent le domaine;
Définir une fonction approchée sur chaque sous-domaine;
On pressent donc un certain nombre de caractéristiques de cette construction:
Le pavage du domaine \({\Omega}_{e}\) par les sous-domaines \({\Omega}_{e}\) doit être aussi précis que possible;
La fonction approchée sur le sous-domaine doit respecter des conditions de continuité entre les différents sous-domaines;
La fonction approchée sur le sous-domaine doit avoir des propriétés cohérentes avec les conditions de dérivabilité et en rapport avec la description physique de la solution (ce qui peut impliquer d’utiliser une formulation affaiblie par exemple).
3.2. Approximation de la géométrie#
3.2.1. Principe#
On identifie les \({N}_{e}\) sous-domaines (ou éléments ) \({\Omega}_{e}\) qui pavent l’espace \(\Omega\) du solide:
Notons \({x}_{\alpha =1,3}\) les coordonnées d’un point \(x\) dans le repère absolu. La géométrie du sous-domaine est construite avec une approximation nodale, soit pour un élément avec \({N}_{\mathrm{nd}}\) nœuds:
Ce pavage (maillage) est une opération pouvant être complexe, surtout en 3D. Il existe des algorithmes généraux pour mailler. On utilise des triangles ou des quadrangles en 2D et des tétraèdres ou des hexaèdres en 3D (plus quelques éléments servant de raccords). Les triangles et tétraèdres donnent ce qu’on appelle des maillages libres , les quadrangles et les hexaèdres forment des maillages réglés . Les maillages libres sont relativement faciles à construire grâce à des techniques largement éprouvées: cellules de Voronoï construisant une triangulation de Delaunay ou méthodes de propagation (méthodes dites frontales), les maillages réglés sont beaucoup plus délicats à générer. Le maillage induit nécessairement une erreur de discrétisation géométrique Par exemple, sur la figure (), on voit qu’une frontière courbe n’est qu’imparfaitement approchée par des éléments linéaires.
Illustration 1: Erreur de discrétisation géométrique |
De même le maillage doit être conforme: pas de trous ou de recouvrement (voir figure ()).
Illustration 2: Non-conformité du maillage |
Pour respecter cette condition de conformité , il suffit de deux règles:
Chaque élément doit être défini de manière unique à partir des coordonnées de ses nœuds géométriques (et pas ceux de ses voisins !);
La frontière d’un élément doit être définie de manière unique à partir des nœuds de ces frontières, ces nœuds étant communs entre les éléments partageant cette frontière.
Ces conditions de conformité sont une différence importante par rapport aux volumes finis qui n’ont pas ces exigences. Le pavage du domaine permet d’appliquer la méthode des éléments finis sur des géométries complexes, au contraire des méthodes par différences finies. Le pavage géométrique du domaine induit une première erreur: il n’est pas possible, dans le cas général, de représenter une géométrie réelle par un maillage par des polygones réguliers, en particulier sur la frontière du domaine.
« Un beau maillage est un bon maillage»
3.2.2. Éléments de référence#
Le calcul des fonctions de forme pour un élément quelconque peut être assez compliqué. C’est pourquoi on préfère souvent se ramener à un élément dit de référence, à partir duquel on peut générer tous les éléments d’une même famille par une transformation géométrique. Les fonctions de forme sont alors calculées sur cet élément générique noté \({\Omega}_{r}\) , et le transport des grandeurs sur l’élément réel \({\Omega}_{e}\) est effectué grâce à la connaissance de la transformation géométrique.
Illustration 3: Passage de l’espace de référence à l’espace réel |
Les points de l’élément de référence seront décrits en termes de coordonnées paramétriques \({\xi}_{\alpha =1,3}\) . La transformation \(\tau\) doit être bijective et transformer les sommets et côtés de l’élément de référence en sommets et côtés de l’élément réel:
3.2.3. Fonctions d’interpolation géométrique#
La géométrie de l’élément est donc approchée par le biais de fonctions d’interpolation géométrique. Ces fonctions notées \(\stackrel{ˉ}{N}(\xi )\) sont définies sur l’élément de référence; elles permettent de connaître les coordonnées \({x}_{\alpha}\) d’un point quelconque de l’élément réel à partir de ses coordonnées \({\xi}_{\alpha}\) de son antécédent dans l’élément de référence et des coordonnées \({x}_{\alpha}^{i}\) des nœuds (de numéro local \(I\) ) de l’élément réel:
3.2.4. Matrice jacobienne de la transformation#
La jacobienne de la transformation est la matrice des dérivées partielles des coordonnées réelles \({x}_{\alpha}\) par rapport aux coordonnées \({\xi}_{\alpha}\) dans l’élément de référence:
En tenant compte de la définition des coordonnées \({x}_{\alpha}\) en fonction des coordonnées \({x}_{\alpha ,i}\) des nœuds, on obtient une expression équivalente de la matrice jacobienne:
Où \(\frac{\partial \stackrel{ˉ}{{N}_{i}}}{\partial {\xi}_{\beta}}\) sont les termes de la matrice \({\left[\frac{\partial \stackrel{ˉ}{N}}{\partial \xi }\right]}^{T}\) , dont le nombre de lignes est le nombre de directions de l’espace, et le nombre de colonnes le nombre de nœuds de l’élément. Notons que la matrice \({\left[\frac{\partial \stackrel{ˉ}{N}}{\partial \xi }\right]}^{T}\) ne dépend que de la définition de l’élément de référence et non de celle de l’élément réel. Le déterminant de la matrice jacobienne, utile dans les calculs qui vont suivre, s’appelle le jacobien de la transformation géométrique. Il est non nul lorsque la transformation \(\tau\) qui fait passer de l’élément de référence à l’élément réel est bijective, et positif lorsque \(\tau\) respecte l’orientation de l’espace.
3.3. Représentation des inconnues#
Pour résoudre le problème, on considère une approximation par éléments finis d’un champ inconnu. Les espaces \({E}_{P}\) et \({E}_{u}\) sont représentés par des espaces discret \({E}^{h}\) . Il y a deux façons équivalentes de représenter les inconnues dans un élément: par les coefficients de leur approximation polynomiale, ou par leurs valeurs nodales. Ces deux possibilités correspondent aux deux manières complémentaires de définir un élément: par la donnée d’une base de monômes, ou par la donnée des fonctions de forme associées aux nœuds. De manière générale, on construit la fonction approchée en écrivant la relation linéaire suivante sur chaque élément:
Où les \({\phi }_{i}^{e}(\xi )\) sont des fonctions linéaires indépendantes. Ils constituent la base de l’approximation, les paramètres généraux de l’approximation étant les coefficients \({a}_{i}\) .
3.3.1. Approximation nodale#
La première idée de la méthode des éléments finis est de construire une approximation de type nodale pour laquelle les coefficients \({u}_{i}={a}_{i}\) correspondent à la solution en ces nœuds:
On obtient alors une approximation nodale avec \({N}_{i}^{e}(\xi )\) les fonctions d’interpolation sur l’élément de référence. Sur chacun de ces sous-domaines on construit une fonction approchée différente d’un sous-domaine à l’autre. L’approximation éléments finis est élémentaire car la fonction ne dépend que des valeurs nodales constituant l’élément:
Un élément est isoparamétrique lorsqu’il est basé sur des interpolations identiques pour sa géométrie et ses inconnues: \(\stackrel{ˉ}{N}(\xi )=N(\xi )\) .
Pour assurer la continuité de la solution sur l’élément et, éventuellement, la continuité de ses dérivées, il faut que les fonctions \({N}_{i}^{e}(\xi )\) soient continues et, éventuellement, à dérivées continues.
De même si l’on veut assurer la continuité de la solution et de ses dérivées aux frontières des éléments (conformité de l’approximation), il faut que la solution et ses dérivées dépendent de manière unique des variables nodales des nœuds de la frontière.
3.3.2. Base polynomiale#
La façon la plus simple de définir un élément est de choisir une base polynomiale composée d’un certain nombre de monômes indépendants. Pour une inconnue donnée, le nombre de monômes utilisés doit être égal au nombre de variables nodales, c’est-à-dire au nombre de nœuds utilisés pour représenter l’inconnue. On définit généralement la base polynomiale sur l’élément de référence; elle contient des monômes de la forme \({\xi}_{1}^{\gamma}.{\xi}_{2}^{\delta}.{\xi}_{3}^{\varepsilon}\) , où \(\gamma\) , \(\delta\) et \(\varepsilon\) sont des exposants entiers positifs ou nuls. Le degré d’un tel monôme est l’entier \(\gamma +\delta +\varepsilon\) . La base est dite complète de degré \(n\) lorsque tous les monômes de degré \(n\) sont présents. Dans certains cas, on emploie des bases incomplètes. On note \({P}_{p}(\xi )\) le \({p}^{\mathit{ième}}\) monôme de la base (qui en comprend \(m\) ). Les composantes du vecteur déplacement \(u(\xi )\) dans l’élément sont alors données par la formule:
On notera \(\Pi\) la matrice donnant les valeurs prises par les monômes de la base polynomiale sur les nœuds de l’élément de référence:
où \(p\) est le numéro d’ordre du monôme dans la base, \(I\) le numéro du nœud localement à l’élément et \({\xi}_{I}\) les coordonnées du nœud \(I\) dans l’élément de référence. Cette matrice est carrée, sa dimension est le carré du nombre de nœuds de l’élément.
Au nœud \(I\) le déplacement \({u}_{\alpha}^{I}\) vaut:
On distingue trois grands types d’éléments finis fréquemment utilisés:
les éléments finis de Lagrange qui reposent sur des bases polynomiales complètes et différents types de géométries (symplectiques pour les triangles et les tétraèdres, à structure tensorielle pour les quadrangles et les hexaèdres ou de type prismatique);
les éléments finis de type Serendip, qui sont des éléments finis de Lagrange avec des bases incomplètes;
les éléments finis d’Hermite, de haute précision, qui utilisent les inconnues nodales et leurs dérivées;
Éléments finis de Lagrange symplectiques
Pour déterminer si une base polynomiale est complète avec les éléments symplectiques, il suffit d’utiliser le triangle de Pascal:
Ordre |
|||||||||
Constant |
\(1\) |
||||||||
Linéaire |
\({\xi}_{1}\) |
\({\xi}_{2}\) |
|||||||
Quadratique |
\({({\xi}_{1})}^{2}\) |
\({\xi}_{1}.{\xi}_{2}\) |
\({({\xi}_{2})}^{2}\) |
||||||
Cubique |
\({({\xi}_{1})}^{3}\) |
\({({\xi}_{1})}^{2}.{\xi}_{2}\) |
\({\xi}_{1}.{({\xi}_{2})}^{2}\) |
\({({\xi}_{2})}^{3}\) |
|||||
Ordre 4 |
\({({\xi}_{1})}^{4}\) |
\({({\xi}_{1})}^{3}.{\xi}_{2}\) |
\({({\xi}_{1})}^{2}.{({\xi}_{2})}^{2}\) |
\({\xi}_{1}.{({\xi}_{2})}^{3}\) |
\({({\xi}_{2})}^{4}\) |
Une base polynomiale complète d’ordre deux comporte six monômes: :math:`lbrace 1;{xi}_{1};{xi}_{2};{xi}_{1}^{2};{xi}_{2}^{2};{xi}_{1}.{xi}_{2}rbrace ` et donc l’élément géométrique support sera un triangle à six nœuds.
Éléments finis de Lagrange à structure tensorielle
Pour décrire des éléments finis quadrangulaires (ou héxaèdriques), il suffit de prendre des polynômes complets de l’ordre donné et en faire le produit.
Ordre |
Constant |
Linéaire |
Quadratique |
Cubique |
Constant |
\(1\) |
\({\xi}_{1}\) |
\({({\xi}_{1})}^{2}\) |
\({({\xi}_{1})}^{3}\) |
Linéaire |
\({\xi}_{2}\) |
\({\xi}_{1}.{\xi}_{2}\) |
\({({\xi}_{1})}^{2}.{\xi}_{2}\) |
\({({\xi}_{1})}^{3}.{\xi}_{2}\) |
Quadratique |
\({({\xi}_{2})}^{2}\) |
\({\xi}_{1}.{({\xi}_{2})}^{2}\) |
\({({\xi}_{1})}^{2}.{({\xi}_{2})}^{2}\) |
\({({\xi}_{1})}^{3}.{({\xi}_{2})}^{2}\) |
Cubique |
\({({\xi}_{2})}^{3}\) |
\({\xi}_{1}.{({\xi}_{2})}^{3}\) |
\({({\xi}_{1})}^{2}.{({\xi}_{2})}^{3}\) |
\({({\xi}_{1})}^{3}.{({\xi}_{2})}^{3}\) |
Une base polynomiale «sur»-complète d’ordre deux pour un élément quadrangulaire comporte neuf monômes: \(\lbrace 1;{\xi}_{1};{\xi}_{1}^{2};{\xi}_{2};{\xi}_{2}^{2};{\xi}_{1}.{\xi}_{2};{\xi}_{1}.{\xi}_{2}^{2};{\xi}_{1}^{2}.{\xi}_{2};{\xi}_{1}^{2}.{\xi}_{2}^{2}\rbrace\) , ce qui signifie neuf nœuds. Un tel élément comporte des termes d’ordre 3 et 4.
Éléments finis de Serendip
Les éléments de Serendip, pour un polynôme d’ordre \(s\) , excluent les termes croisés de degré supérieur à \(s+1\) pour ne pas avoir de nœuds à l’intérieur des éléments. Par exemple, pour un élément de Serendip d’ordre deux, les monômes seront :math:`lbrace 1;{xi}_{1};{xi}_{1}^{2};{xi}_{2};{xi}_{2}^{2};{xi}_{1}.{xi}_{2};{xi}_{1}.{xi}_{2}^{2};{xi}_{1}^{2}.{xi}_{2}rbrace ` , soit huit nœuds.
3.3.3. Fonctions de forme#
Une façon équivalente de définir un élément fini est de donner, pour chaque inconnue, l’expression des fonctions de forme de l’élément. Pour une inconnue scalaire donnée (composante du déplacement selon y par exemple), il y en a autant que de nœuds où l’inconnue doit être calculée. Dans beaucoup de cas, on utilise les mêmes fonctions de forme pour toutes les composantes d’un vecteur inconnu, mais ce n’est pas obligatoire. Dans ce qui suit, on supposera cependant pour simplifier les écritures que c’est le cas.
Les fonctions de forme peuvent être définies sur l’élément réel \({\Omega}_{e}\) : on les note alors \({N}^{e}(x)\) , elles dépendent de la géométrie de l’élément réel, et sont donc différentes d’un élément à l’autre. Il est plus simple de les exprimer sur l’élément de référence, ce qui donne les fonctions \(N(\xi )\) indépendantes de la géométrie de l’élément réel. Rappelons que ces fonctions sont polynomiales sur l’élément, et que la fonction de forme associé à un nœud donné y prend la valeur un, alors qu’elle s’annule en tous les autres nœuds de l’élément. Les inconnues s’expriment alors comme combinaison linéaire des fonctions de forme, les coefficients \({u}_{\alpha ,i}\) de la combinaison étant appelés les variables nodales:
En utilisant la transformation \(\tau\) entre l’élément de référence et l’élément réel:
On a:
3.3.4. Correspondance entre base polynomiale et fonctions de forme#
On a deux relations. La première provient de l’approximation de la solution par une base polynomiale:
La seconde est l’approximation nodale:
La matrice donnant les valeurs prises par les monômes de la base polynomiale sur les nœuds de l’élément de référence:
En un nœud \(I\) , on a écrit l’approximation polynomiale suivante;
En injectant l’équation () dans l’expression nodale (), on obtient:
Par comparaison avec l’approximation polynomiale (), on en déduit la relation suivante entre la base polynomiale et les fonctions de forme:
En pratique, on trouvera dans la littérature les écritures des fonctions de forme nodales pour les éléments les plus courants, selon le choix de la base polynomiale.
3.4. Résultats d’existence et d’unicité#
On peut écrire le problème de manière plus abstraite:
\({E}_{u}\) et \({E}_{v}\) sont des espaces vectoriels de fonctions définies sur \(\Omega\) . Ce sont des espaces de Hilbert.
\(a(\mathrm{u},\mathrm{v})\) est une forme bilinéaire sur \({E}_{u}\times {E}_{v}\) (on a supposé que \(\mathrm{L}(\mathrm{u})\) représente un problème physique linéaire par rapport à \(\mathrm{u}\) ).
\(f(\mathrm{v})\) est une forme linéaire et continue sur \({E}_{v}\) .
Pour établir les conditions d’existence et d’unicité, on applique le théorème de Lax-Milgram. Dans un premier temps, on suppose que la solution appartient au même espace que les fonctions test \({E}_{u}={E}_{v}\)
Si la forme \(a(\mathrm{u},\mathrm{v})\) est coercive c’est-à-dire:
Alors le problème:
admet une et une seule solution.