4. Méthode de Ritz

La méthode de Galerkine, dans certains cas, équivaut à rendre stationnaire une fonctionnelle. C’est le cas si la forme bilinéaire \(a(\mathrm{u},\mathrm{v})\) est symétrique et positive:

(4.1)\[\forall \mathrm{u},\mathrm{v}\in {E}_{u}a(\mathrm{u},\mathrm{v})=a(\mathrm{v},\mathrm{u})\text{et}a(\mathrm{u},\mathrm{u})\ge 0\]

Dans ce cas le problème () admet une et une seule solution \(\mathrm{u}\) minimise sur \({E}_{u}\) la fonctionnelle suivante:

(4.2)\[\pi (\mathrm{u})=\frac{1}{2}.a(\mathrm{u},\mathrm{u})-f(\mathrm{u})\]

Du point de vue mécanique, celui signifie que le principe des puissances virtuelles peut aussi s’écrire comme la minimisation d’une grandeur scalaire: l’énergie totale de la structure. Cette manière d’écrire l’équilibre est très fréquemment employée. Nous allons ici en présenter quelques résultats.

Nous rappelons d’abord qu’une fonctionnelle est une fonction d’un ensemble de fonctions (et de ses dérivées). On écrira \(\pi\) cette fonctionnelle. On se limitera aux formulations en déplacement, sachant qu’il en existe d’autres. Dans ce cas, la fonctionnelle \(\pi\) s’écrira:

(4.3)\[\pi (u)=\pi (u,\frac{\partial u}{\partial x})\]

Pour les problèmes conservatifs, on peut démontrer qu’écrire que la première variation de \(\pi\) est nulle (condition de stationnarité de la fonctionnelle) équivaut à appliquer le principe des travaux virtuels, ou encore à utiliser la méthode de Galerkine en prenant les déplacements virtuels comme fonction de pondération. On appelle que la méthode de Galerkine consiste à partir du problème aux dérivées partielles établissant l’équilibre de la structure, soit:

(4.4)\[L(u)+f=0\text{dans}\Omega \text{avec}\sigma .n=g\text{sur}{\Gamma}_{N}\text{et}u={u}^{D}\text{sur}{\Gamma}_{D}\]

On cherche alors à résoudre le problème sous forme intégrale en utilisant des fonctions de pondération qui sont de la même nature que la solution approchée:

(4.5)\[\begin{split}\begin{array}{}W=\underset{\Omega}{\int}[L(u)+f].\psi (u).d\Omega =0\\ \text{Avec}\sigma .n=g\text{sur}{\Gamma}_{N}\text{et}u={u}^{D}\text{sur}{\Gamma}_{D}\end{array}\end{split}\]

Si on choisit comme fonction de pondération la variation des inconnues \(\psi =\delta u\) et après avoir intégré par parties une fois, on obtient:

(4.6)\[\delta \pi (u)=W(u)=0\text{avec}u={u}^{D}\text{sur}{\Gamma}_{D}\]

Trouver la forme exacte de la fonctionnelle n’est pas immédiat dans le cas général. En mécanique, pour les cas conservatifs, il se trouve que cette fonctionnelle équivaut à l’énergie potentielle totale du système. Après discrétisation de la fonctionnelle (par une approximation éléments finis), on se retrouve avec un système matriciel strictement équivalent à celui de la méthode de Galerkine (ou son principe mécanique équivalent, la méthode des puissances virtuelles).

Intuitivement, on comprend qu’une faible variation \(\delta u\) de la solution est un champ qui peut être cinématiquement admissible et qui correspond donc bien aux hypothèses de la méthode des puissances virtuelles.