1. Introduction#
La méthode des éléments finis est employée dans de nombreux domaines scientifiques pour résoudre des équations aux dérivées partielles. Elle permet de construire une approximation simple des inconnues pour transformer ces équations continues en un système d’équations de dimension finie, que l’on peut écrire schématiquement sous la forme suivante:
où \(\left\lbrace U\right\rbrace\) est le vecteur des inconnues, \([A]\) une matrice et \(\left\lbrace L\right\rbrace\) un vecteur.
Dans un premier temps, on transforme les équations aux dérivées partielles en une formulation intégrale (ou formulation forte du problème), souvent cette première forme intégrale est modifiée (affaiblie) en utilisant la formule de Green (on obtient alors une formulation faible ). La solution approchée est cherchée comme combinaison linéaire de fonctions données. Ces fonctions doivent être simples mais assez générales pour pouvoir «bien» approcher la solution. Elles doivent notamment permettre de générer un espace de dimension finie qui soit aussi proche que l’on veut de l’espace de fonctions dans lequel se trouve la solution. A partir de cette idée ancienne (méthode des résidus pondérés), les diverses façons de choisir ces fonctions donnent lieu à différentes méthodes numériques (collocation, méthodes spectrales, éléments finis, etc.).
L’originalité de la méthode des éléments finis est de prendre comme fonctions d’approximation des polynômes qui sont nuls sur presque tout le domaine, et participent donc au calcul seulement au voisinage d’un point particulier. Ainsi, la matrice \([A]\) est très creuse, ne contenant que les termes d’interaction entre «points voisins», ce qui réduit le temps de calcul et la place mémoire nécessaire au stockage. De plus, la matrice \([A]\) et le vecteur \(\left\lbrace L\right\rbrace\) peuvent être construits par assemblage de matrices et vecteurs élémentaires, calculés localement.