2. Solution de référence#
2.1. Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence#
Le champ de pression \(p\) vérifie l’équation de Helmholtz selon l’axe \(x\) :
\(\frac{{d}^{2}p}{{\mathit{dx}}^{2}}+{k}^{2}p=0\) , \(x\in [0,L]\)
En \(x=0\) , on retrouve des conditions aux limites de vitesse \({V}_{n}^{s}\) et d’impédance \({Z}_{\mathit{n0}}\) imposées:
\(p(x=0)={Z}_{\mathit{n0}}\left({V}_{n}(x=0)-{V}_{n}^{s}\right)\)
ce qui donne en termes d’admittance imposée:
\({V}_{n}(x=0)={V}_{n}^{s}+{A}_{\mathit{n0}}p(x=0)\)
En \(x=L\) , l’impédance \({Z}_{\mathit{nL}}\) (ou son inverse, l’admittance \({A}_{\mathit{nL}}\) ) est imposée:
\(\frac{-\frac{\mathit{dp}}{\mathit{dx}}}{-i\rho \omega }={A}_{n}p\)
La pression dans le guide d’onde a la forme suivante:
\(p(x)={C}_{1}{\mathrm{e}}^{-\mathit{ikx}}+{C}_{2}{\mathrm{e}}^{\mathit{ikx}}\)
Ainsi, on peut exprimer la dérivée de la pression:
\(\frac{\mathit{dp}(x)}{\mathit{dx}}=-{\mathit{ikC}}_{1}{\mathrm{e}}^{-\mathit{ikx}}+{\mathit{ikC}}_{2}{\mathrm{e}}^{\mathit{ikx}}\)
Les conditions aux limites en \(x=0\) permettent d’écrire:
\(-{\mathit{ikC}}_{1}+{\mathit{ikC}}_{2}=-i\rho \omega {V}_{n}^{s}-i\rho \omega {A}_{\mathit{n0}}({C}_{1}+{C}_{2})\)
La condition aux limites en \(x=L\) permet d’écrire:
\({\mathit{ikC}}_{1}{\mathrm{e}}^{-\mathit{ikL}}-{\mathit{ikC}}_{2}{\mathrm{e}}^{\mathit{ikL}}=-i\rho \omega {A}_{\mathit{nL}}({C}_{1}{\mathrm{e}}^{-\mathit{ikL}}+{C}_{2}{\mathrm{e}}^{\mathit{ikL}})\)
Ces deux dernières relations permettent d’écrire un système d’équations dont la résolution permet de déterminer les constantes \({C}_{1}\) et \({C}_{2}\) et donc la pression et vitesse particulaire en n’importe quel point du guide d’onde.
Par souci de simplicité, l’expression analytique des coefficients \({C}_{1}\) et \({C}_{2}\) n’est pas renseignée ici.
2.2. Résultats de référence#
On calcule la pression aux points \(A\) , \(B\) , \(C\) et \(D\) .
2.3. Incertitude sur la solution#
Solution analytique.