Solution de référence
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Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence
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Le champ de pression :math:`p` vérifie l'équation de Helmholtz selon l'axe :math:`x` :

:math:`\frac{{d}^{2}p}{{\mathit{dx}}^{2}}+{k}^{2}p=0` , :math:`x\in [0,L]`

En :math:`x=0` , on retrouve des conditions aux limites de vitesse :math:`{V}_{n}^{s}` et d'impédance :math:`{Z}_{\mathit{n0}}` imposées:

:math:`p(x=0)={Z}_{\mathit{n0}}\left({V}_{n}(x=0)-{V}_{n}^{s}\right)`

ce qui donne en termes d'admittance imposée:

:math:`{V}_{n}(x=0)={V}_{n}^{s}+{A}_{\mathit{n0}}p(x=0)`

En :math:`x=L` , l'impédance :math:`{Z}_{\mathit{nL}}` (ou son inverse, l'admittance :math:`{A}_{\mathit{nL}}` ) est imposée:

:math:`\frac{-\frac{\mathit{dp}}{\mathit{dx}}}{-i\rho \omega }={A}_{n}p`

La pression dans le guide d'onde a la forme suivante:

:math:`p(x)={C}_{1}{\mathrm{e}}^{-\mathit{ikx}}+{C}_{2}{\mathrm{e}}^{\mathit{ikx}}`

Ainsi, on peut exprimer la dérivée de la pression:

:math:`\frac{\mathit{dp}(x)}{\mathit{dx}}=-{\mathit{ikC}}_{1}{\mathrm{e}}^{-\mathit{ikx}}+{\mathit{ikC}}_{2}{\mathrm{e}}^{\mathit{ikx}}`

Les conditions aux limites en :math:`x=0` permettent d'écrire:

:math:`-{\mathit{ikC}}_{1}+{\mathit{ikC}}_{2}=-i\rho \omega {V}_{n}^{s}-i\rho \omega {A}_{\mathit{n0}}({C}_{1}+{C}_{2})`

La condition aux limites en :math:`x=L` permet d'écrire:

:math:`{\mathit{ikC}}_{1}{\mathrm{e}}^{-\mathit{ikL}}-{\mathit{ikC}}_{2}{\mathrm{e}}^{\mathit{ikL}}=-i\rho \omega {A}_{\mathit{nL}}({C}_{1}{\mathrm{e}}^{-\mathit{ikL}}+{C}_{2}{\mathrm{e}}^{\mathit{ikL}})`

Ces deux dernières relations permettent d'écrire un système d'équations dont la résolution permet de déterminer les constantes :math:`{C}_{1}` et :math:`{C}_{2}` et donc la pression et vitesse particulaire en n'importe quel point du guide d'onde.

Par souci de simplicité, l'expression analytique des coefficients :math:`{C}_{1}` et :math:`{C}_{2}` n'est pas renseignée ici.


Résultats de référence
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On calcule la pression aux points :math:`A` , :math:`B` , :math:`C` et :math:`D` .


Incertitude sur la solution
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*   Solution analytique.