2. Solution de référence#

2.1. Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence#

Les fréquences de l’excitation sont assez basses et conjointement le guide d’onde est suffisamment long par rapport à ses dimensions latérales pour qu’on se limite aux ondes planes : le phénomène est alors identique en tous points d’un plan d’onde, c’est-à-dire ne dépend pas des coordonnées décrivant les points de ce plan, \(y\) et \(z\) par exemple.

On donne dans cette hypothèse la solution générale bien connue des équations de l’acoustique pour les deux grandeurs pression \(p\) et vitesse acoustique \(v\) :

(2.1)#\[v=f(t-\frac{x}{c})+g(t+\frac{x}{c})\]

Et:

(2.2)#\[p=\rho c\left[f(t-\frac{x}{c})-g(t+\frac{x}{c})\right]\]

Le guide est supposé fermé à l’extrémité d’abscisse \(L\) sur une impédance \({Z}_{L}\) ; il se produit une réflexion au niveau de cette impédance, ce qui donne une onde de retour \(g\) .

En chaque point du guide, il y a alors superposition des deux fonctions \(f\) et \(g\) ; par définition même l’impédance terminale \({Z}_{L}\) impose au point d’abscisse \(L\) , entre \(p\) et \(v\) la relation suivante:

(2.3)#\[\frac{{p}_{L}}{{v}_{L}}={Z}_{L}\]

Dans le cas harmonique \(f\) et \(g\) s’écrivent :

(2.4)#\[\begin{split}\begin{array}{}f(t-\frac{x}{c})=I{e}^{i\omega (t-\frac{x}{c})}\\ g(t+\frac{x}{c})=R{e}^{i\omega (t+\frac{x}{c})}\end{array}\end{split}\]

où \(I\) et \(R\) sont déterminés par les conditions aux limites.

Dans le calcul de l’impédance \(Z=\frac{p}{v}\) en tout point \(x\) la variable temps cette fois s’élimine, conformément au calcul même des impédances et s’écrit :

(2.5)#\[Z(x)={Z}_{0}\frac{I{e}^{-i\omega \frac{x}{c}}-R{e}^{i\omega \frac{x}{c}}}{I{e}^{-i\omega \frac{x}{c}}+R{e}^{i\omega \frac{x}{c}}}\]

L’impédance terminale devient :

(2.6)#\[{Z}_{L}={Z}_{0}\frac{I{e}^{-i\omega \frac{L}{c}}-R{e}^{i\omega \frac{L}{c}}}{I{e}^{-i\omega \frac{L}{c}}+R{e}^{i\omega \frac{L}{c}}}\]

On appelle \({Z}_{0}=\rho c\) l’impédance itérative.

Sur la frontière fluide à l’entrée du guide la condition limite de type onde incidente imposée à \({P}_{i}={P}_{0}{e}^{i\omega t}\) , s’obtient en écrivant à la frontière la relation linéaire suivante:

(2.7)#\[p-\rho c{v}_{n}={P}_{i}\]

où \({v}_{n}=\mathrm{v.n}\) est la vitesse suivant la normale unitaire \(n\) sortante du fluide.

On impose de plus à la sortie du guide une valeur d’impédance terminale \({Z}_{L}={Z}_{0}\) qui en fait une extrémité anéchoïque.

L’impédance terminale est égale à l’impédance itérative \({Z}_{0}\) quand \(R=0\) , c’est-à-dire quand il n’y a pas d’onde de retour ; on a alors une onde progressive pure dans le sens de l’onde incidente, soit :

(2.8)#\[\begin{split}\begin{array}{}v=I{e}^{i\omega (t-\frac{x}{c})}\\ p=\rho cI{e}^{i\omega (t-\frac{x}{c})}\end{array}\end{split}\]

Ainsi la relation d’onde incidente imposée () s’écrit:

(2.9)#\[p-\rho c{v}_{n}=p(x=0)+\rho cv(x=0)=2\rho cI{e}^{i\omega t}\]

d’où on identifie \(2\rho cI{e}^{i\omega t}={P}_{i}\) ; on en déduit l’expression de l’onde progressive de pression dans le guide lorsqu’on impose \({P}_{i}\) à l’entrée du guide:

(2.10)#\[p=\frac{{P}_{i}}{2}{e}^{-i\omega \frac{x}{c}}=\frac{{P}_{0}}{2}{e}^{i\omega (t-\frac{x}{c})}\]

2.2. Résultats de référence#

Pression aux points \(A\) , \(B\) , \(C\) , \(D\) (pour les modélisations A, B, C, D, E et F).

2.3. Incertitude sur la solution#

Solution analytique.

2.4. Références bibliographiques#

    1. STIFKENS « Introduction dans le Code_Aster de condition limite de type onde incidente en vibro-acoustique - Rapport HP-61/95/026/