Solution de référence
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Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence
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Les fréquences de l'excitation sont assez basses et conjointement le guide d'onde est suffisamment long par rapport à ses dimensions latérales pour qu'on se limite aux ondes planes : le phénomène est alors identique en tous points d'un plan d'onde, c'est-à-dire ne dépend pas des coordonnées décrivant les points de ce plan, :math:`y` et :math:`z` par exemple.

On donne dans cette hypothèse la solution générale bien connue des équations de l'acoustique pour les deux grandeurs **pression** :math:`p` et **vitesse acoustique** :math:`v` :


.. math::
    :label: eq-1

    v=f(t-\frac{x}{c})+g(t+\frac{x}{c})


Et:


.. math::
    :label: eq-2

    p=\rho c\left[f(t-\frac{x}{c})-g(t+\frac{x}{c})\right]


Le guide est supposé fermé à l'extrémité d'abscisse :math:`L` sur une impédance :math:`{Z}_{L}` ; il se produit une réflexion au niveau de cette impédance, ce qui donne une onde de retour :math:`g` .

En chaque point du guide, il y a alors superposition des deux fonctions :math:`f` et :math:`g` ; par définition même l'impédance terminale :math:`{Z}_{L}` impose au point d'abscisse :math:`L` , entre :math:`p` et :math:`v` la relation suivante:


.. math::
    :label: eq-3

    \frac{{p}_{L}}{{v}_{L}}={Z}_{L}


Dans le cas harmonique :math:`f` et :math:`g` s'écrivent :


.. math::
    :label: eq-4

    \begin{array}{}f(t-\frac{x}{c})=I{e}^{i\omega (t-\frac{x}{c})}\\ g(t+\frac{x}{c})=R{e}^{i\omega (t+\frac{x}{c})}\end{array}


où :math:`I` et :math:`R` sont déterminés par les conditions aux limites.

Dans le calcul de l'impédance :math:`Z=\frac{p}{v}` en tout point :math:`x` la variable temps cette fois s'élimine, conformément au calcul même des impédances et s'écrit :


.. math::
    :label: eq-5

    Z(x)={Z}_{0}\frac{I{e}^{-i\omega \frac{x}{c}}-R{e}^{i\omega \frac{x}{c}}}{I{e}^{-i\omega \frac{x}{c}}+R{e}^{i\omega \frac{x}{c}}}


L'impédance terminale devient :


.. math::
    :label: eq-6

    {Z}_{L}={Z}_{0}\frac{I{e}^{-i\omega \frac{L}{c}}-R{e}^{i\omega \frac{L}{c}}}{I{e}^{-i\omega \frac{L}{c}}+R{e}^{i\omega \frac{L}{c}}}


On appelle :math:`{Z}_{0}=\rho c` l'impédance itérative.

Sur la frontière fluide à l'entrée du guide la condition limite de type onde incidente imposée à :math:`{P}_{i}={P}_{0}{e}^{i\omega t}` , s'obtient en écrivant à la frontière la relation linéaire suivante:


.. math::
    :label: eq-7

    p-\rho c{v}_{n}={P}_{i}


où :math:`{v}_{n}=\mathrm{v.n}` est la vitesse suivant la normale unitaire :math:`n` **sortante**  du fluide.

On impose de plus à la sortie du guide une valeur d'impédance terminale :math:`{Z}_{L}={Z}_{0}` qui en fait une extrémité anéchoïque.

L'impédance terminale est égale à l'impédance itérative :math:`{Z}_{0}` quand :math:`R=0` , c'est-à-dire quand il n'y a pas d'onde de retour ; on a alors une onde **progressive**  pure dans le sens de l'onde incidente, soit :


.. math::
    :label: eq-8

    \begin{array}{}v=I{e}^{i\omega (t-\frac{x}{c})}\\ p=\rho cI{e}^{i\omega (t-\frac{x}{c})}\end{array}


Ainsi la relation d'onde incidente imposée () s'écrit:


.. math::
    :label: eq-9

    p-\rho c{v}_{n}=p(x=0)+\rho cv(x=0)=2\rho cI{e}^{i\omega t}


d'où on identifie :math:`2\rho cI{e}^{i\omega t}={P}_{i}` ; on en déduit l'expression de l'onde **progressive**  de pression dans le guide lorsqu'on impose :math:`{P}_{i}` à l'entrée du guide:


.. math::
    :label: eq-10

    p=\frac{{P}_{i}}{2}{e}^{-i\omega \frac{x}{c}}=\frac{{P}_{0}}{2}{e}^{i\omega (t-\frac{x}{c})}



Résultats de référence
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Pression aux points :math:`A` , :math:`B` , :math:`C` , :math:`D`  (pour les modélisations A, B, C, D, E et F).


Incertitude sur la solution
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Solution analytique.


Références bibliographiques
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1.  F. STIFKENS "Introduction dans le *Code_Aster*  de condition limite de type onde incidente en vibro-acoustique - Rapport HP-61/95/026/