2. Solution de référence#
2.1. Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence#
La solution de référence pour le problème de la représentation modale de la plaque est donnée dans [1].
La solution de référence pour le problème de la représentation modale de la cavité est donnée dans [2].
L’intégration de ces deux modèles et la prise en compte de leur interaction mutuelle mène à une solution modale couplée dont les équations sont décrites ci-après (voir aussi [3]).
Le problème consiste en l’évaluation de la réponse dynamique d’une plaque rectangulaire élastique couplée à une cavité acoustique parallélépipédique, et soumise à une force ponctuelle transversale. La géométrie du système envisagé est représentée à la page précédente.
La plaque a une épaisseur \(t\) et est constituée d’un matériau caractérisé par les constantes mécaniques usuelles: module de Young \(E\) , facteur de perte structurel \({\eta}_{S}\) , coefficient de Poisson \(\nu\) et densité \({\rho}_{S}\) . Le fluide est caractérisé par une densité \({\rho}_{F}\) , une vitesse du son \({c}_{F}\) et un facteur de perte \({\eta}_{F}\) .
La force ponctuelle (amplitude \(F\) ) est appliquée à la position \(({x}_{F},{y}_{F})\) .
Les pulsations propres et les modes propres de la structure sont calculés par les expressions suivantes (\(m,n=1,2,3,\mathrm{...}\) ):
\({\omega}_{\mathit{mn}}^{S}={\left(\frac{D}{{\rho}_{S}t}\right)}^{1/2}\left({\left(\frac{m\pi }{{L}_{x}}\right)}^{2}+{\left(\frac{n\pi }{{L}_{y}}\right)}^{2}\right)\) avec \(D=\frac{E{t}^{3}}{12(1-{\nu}^{2})}\)
\({\Phi}_{\mathit{mn}}^{S}(x,y)={A}_{\mathit{mn}}^{S}\sin\left(\frac{m\pi x}{{L}_{x}}\right)\sin\left(\frac{n\pi x}{{L}_{y}}\right)\)
Le coefficient \({A}_{\mathit{mn}}^{S}\) est choisi de façon à ce que le mode qui lui est relatif, soit orthonormalisé par rapport à la masse structurelle:
\(\underset{0}{\overset{L}{\int}}\underset{0}{\overset{L}{\int}}{\rho}_{s}{\left({\Phi}_{\mathit{mn}}^{S}(x,y)\right)}^{2}t\text{dx}\text{dy}=1\)
Ce qui conduit à la valeur suivante pour \({A}_{\mathit{mn}}^{S}\) : \({A}_{\mathit{mn}}^{S}=\frac{2}{{({\rho}_{S}t{L}_{x}{L}_{y})}^{1/2}}\)
Les pulsations propres et les modes propres acoustiques sont calculés en faisant l’hypothèse de parois rigides pour la cavité et conduisent aux expressions suivantes (\(i,j,k=0,1,2,\mathrm{...}\) ):
\({\omega}_{\mathit{ijk}}^{F}=c{\left({\left(\frac{i\pi }{{L}_{x}}\right)}^{2}+{\left(\frac{j\pi }{{L}_{y}}\right)}^{2}+{\left(\frac{k\pi }{{L}_{z}}\right)}^{2}\right)}^{1/2}\)
\({\Phi}_{\mathit{ijk}}^{F}(x,y,z)={A}_{\mathit{ijk}}^{F}\cos(\frac{i\pi x}{{L}_{x}})\cos(\frac{j\pi y}{{L}_{y}})\cos(\frac{k\pi z}{{L}_{z}})\)
Le coefficient \({A}_{\mathit{ijk}}^{F}\) est évalué par la condition de normalisation par rapport à la masse acoustique:
\(\underset{0}{\overset{L}{\int}}\underset{0}{\overset{L}{\int}}\underset{0}{\overset{L}{\int}}\frac{1}{{\rho}_{F}{c}_{F}^{2}}{\left({\Phi}_{\mathit{ijk}}^{F}(x,y,z)\right)}^{2}\text{dx}\text{dy}\text{dz}=1\)
et donc \({A}_{\mathit{ijk}}^{F}\) vaut: \({A}_{\mathit{ijk}}^{F}={\left(\frac{{\rho}_{F}{c}_{F}^{2}}{{L}_{x}^{'}{L}_{y}^{'}{L}_{z}^{'}}\right)}^{1/2}\)
avec:
\(\begin{array}{c}{L}_{x}^{'}\text{}={L}_{x}\text{si}i=0\\ \text{}=0\text{si}i>0\end{array}\) \(\begin{array}{c}{L}_{y}^{'}\text{}={L}_{y}\text{si}j=0\\ \text{}=0\text{si}j>0\end{array}\) \(\begin{array}{c}{L}_{z}^{'}\text{}={L}_{z}\text{si}k=0\\ \text{}=0\text{si}k>0\end{array}\)
Le système couplé est décrit par les équations suivantes:
\(\left[\begin{array}{cc}{\Lambda}_{S}& {\rm E}\\ {\omega}^{2}{{\rm E}}^{T}& {\Lambda}_{F}\end{array}\right]\left(\begin{array}{c}{X}_{S}\\ {X}_{F}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{F}^{S}\\ 0\end{array}\right)\)
avec:
\({X}_{S}\) et \({X}_{F}\) sont les facteurs de participation modaux structurels et acoustiques respectivement;
\({\Lambda}_{S}=\text{diag}\left\lbrace {\left({\omega}_{\mathit{mn}}^{S}\right)}^{2}-{\omega}^{2}\right\rbrace\)
\({\Lambda}_{F}=\text{diag}\left\lbrace {\left({\omega}_{\mathit{ijk}}^{F}\right)}^{2}-{\omega}^{2}\right\rbrace\)
\({F}^{S}={\Phi}_{\mathit{mn}}^{S}({x}_{F},{y}_{F})\cdot F\)
\({{\rm E}}_{\lbrace \mathit{mn}\rbrace \lbrace \mathit{ijk}\rbrace }=\underset{0}{\overset{L}{\int}}\underset{0}{\overset{L}{\int}}{\Phi}_{\mathit{mn}}^{S}(x,y){\Phi}_{\mathit{ijk}}^{F}(x,y,0)\text{dx}\text{dy}={A}_{\mathit{mn}}^{S}{A}_{\mathit{ijk}}^{F}{c}_{x}{c}_{y}\)
\({c}_{x}=-\frac{{L}_{x}}{\pi}\left(\frac{\cos(m-i)\pi }{2(m-i)}+\frac{\cos(m+i)\pi }{2(m+i)}\right)\)
\({c}_{y}=-\frac{{L}_{y}}{\pi}\left(\frac{\cos(n-j)\pi }{2(n-j)}+\frac{\cos(n+j)\pi }{2(n+j)}\right)\)
La réponse dynamique couplée (déplacement \(\text{u}\) pour la structure et pression acoustique \(\text{p}\) pour le fluide) peut alors être calculée par:
\(u(x,y)=\sum_{m,n}{\Phi}_{\mathit{mn}}^{S}(x,y){X}_{\mathit{mn}}^{S}\)
\(p(x,y,z)=\sum_{i,j,k}{\Phi}_{\mathit{ijk}}^{F}(x,y,z){X}_{\mathit{ijk}}^{F}\)
2.2. Résultats de référence#
On calcule la pression aux points \(\mathit{N1}\) , \(\mathit{N2}\) , \(\mathit{N3}\) .
2.3. Incertitude sur la solution#
Solution analytique.
2.4. Références bibliographiques#
[1] Rayonnement acoustique des structures, Vibroacoustique, Interaction fluide-structure, p. 27 de Claude Lesueur – Collection de la direction des Etudes et Recherches d’EDF.
[2] Rayonnement acoustique des structures, Vibroacoustique, Interaction fluide-structure, p. 80 de Claude Lesueur – Collection de la direction des Etudes et Recherches d’EDF.
[3] Derivation of a reference solution for a Cavity-Plate problem par J.-P. Coyette de Numerical Integration Technologies – Note interne.