Solution de référence ===================== Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence -------------------------------------------------------- La solution de référence pour le problème de la représentation modale de la plaque est donnée dans [:ref:`1 <1>`]. La solution de référence pour le problème de la représentation modale de la cavité est donnée dans [:ref:`2 <2>`]. L'intégration de ces deux modèles et la prise en compte de leur interaction mutuelle mène à une solution modale couplée dont les équations sont décrites ci-après (voir aussi [:ref:`3 <3>`]). Le problème consiste en l'évaluation de la réponse dynamique d'une plaque rectangulaire élastique couplée à une cavité acoustique parallélépipédique, et soumise à une force ponctuelle transversale. La géométrie du système envisagé est représentée à la page précédente. La plaque a une épaisseur :math:`t` et est constituée d'un matériau caractérisé par les constantes mécaniques usuelles: module de Young :math:`E` , facteur de perte structurel :math:`{\eta}_{S}` , coefficient de Poisson :math:`\nu` et densité :math:`{\rho}_{S}` . Le fluide est caractérisé par une densité :math:`{\rho}_{F}` , une vitesse du son :math:`{c}_{F}` et un facteur de perte :math:`{\eta}_{F}` . La force ponctuelle (amplitude :math:`F` ) est appliquée à la position :math:`({x}_{F},{y}_{F})` . Les pulsations propres et les modes propres de la structure sont calculés par les expressions suivantes (:math:`m,n=1,2,3,\mathrm{...}` ): :math:`{\omega}_{\mathit{mn}}^{S}={\left(\frac{D}{{\rho}_{S}t}\right)}^{1/2}\left({\left(\frac{m\pi }{{L}_{x}}\right)}^{2}+{\left(\frac{n\pi }{{L}_{y}}\right)}^{2}\right)` avec :math:`D=\frac{E{t}^{3}}{12(1-{\nu}^{2})}` :math:`{\Phi}_{\mathit{mn}}^{S}(x,y)={A}_{\mathit{mn}}^{S}\sin\left(\frac{m\pi x}{{L}_{x}}\right)\sin\left(\frac{n\pi x}{{L}_{y}}\right)` Le coefficient :math:`{A}_{\mathit{mn}}^{S}` est choisi de façon à ce que le mode qui lui est relatif, soit orthonormalisé par rapport à la masse structurelle: :math:`\underset{0}{\overset{L}{\int}}\underset{0}{\overset{L}{\int}}{\rho}_{s}{\left({\Phi}_{\mathit{mn}}^{S}(x,y)\right)}^{2}t\text{dx}\text{dy}=1` Ce qui conduit à la valeur suivante pour :math:`{A}_{\mathit{mn}}^{S}` : :math:`{A}_{\mathit{mn}}^{S}=\frac{2}{{({\rho}_{S}t{L}_{x}{L}_{y})}^{1/2}}` Les pulsations propres et les modes propres acoustiques sont calculés en faisant l'hypothèse de parois rigides pour la cavité et conduisent aux expressions suivantes (:math:`i,j,k=0,1,2,\mathrm{...}` ): :math:`{\omega}_{\mathit{ijk}}^{F}=c{\left({\left(\frac{i\pi }{{L}_{x}}\right)}^{2}+{\left(\frac{j\pi }{{L}_{y}}\right)}^{2}+{\left(\frac{k\pi }{{L}_{z}}\right)}^{2}\right)}^{1/2}` :math:`{\Phi}_{\mathit{ijk}}^{F}(x,y,z)={A}_{\mathit{ijk}}^{F}\cos(\frac{i\pi x}{{L}_{x}})\cos(\frac{j\pi y}{{L}_{y}})\cos(\frac{k\pi z}{{L}_{z}})` Le coefficient :math:`{A}_{\mathit{ijk}}^{F}` est évalué par la condition de normalisation par rapport à la masse acoustique: :math:`\underset{0}{\overset{L}{\int}}\underset{0}{\overset{L}{\int}}\underset{0}{\overset{L}{\int}}\frac{1}{{\rho}_{F}{c}_{F}^{2}}{\left({\Phi}_{\mathit{ijk}}^{F}(x,y,z)\right)}^{2}\text{dx}\text{dy}\text{dz}=1` et donc :math:`{A}_{\mathit{ijk}}^{F}` vaut: :math:`{A}_{\mathit{ijk}}^{F}={\left(\frac{{\rho}_{F}{c}_{F}^{2}}{{L}_{x}^{'}{L}_{y}^{'}{L}_{z}^{'}}\right)}^{1/2}` avec: :math:`\begin{array}{c}{L}_{x}^{'}\text{}={L}_{x}\text{si}i=0\\ \text{}=0\text{si}i>0\end{array}` :math:`\begin{array}{c}{L}_{y}^{'}\text{}={L}_{y}\text{si}j=0\\ \text{}=0\text{si}j>0\end{array}` :math:`\begin{array}{c}{L}_{z}^{'}\text{}={L}_{z}\text{si}k=0\\ \text{}=0\text{si}k>0\end{array}` Le système couplé est décrit par les équations suivantes: :math:`\left[\begin{array}{cc}{\Lambda}_{S}& {\rm E}\\ {\omega}^{2}{{\rm E}}^{T}& {\Lambda}_{F}\end{array}\right]\left(\begin{array}{c}{X}_{S}\\ {X}_{F}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{F}^{S}\\ 0\end{array}\right)` avec: * :math:`{X}_{S}` et :math:`{X}_{F}` sont les facteurs de participation modaux structurels et acoustiques respectivement; * :math:`{\Lambda}_{S}=\text{diag}\left\lbrace {\left({\omega}_{\mathit{mn}}^{S}\right)}^{2}-{\omega}^{2}\right\rbrace` * :math:`{\Lambda}_{F}=\text{diag}\left\lbrace {\left({\omega}_{\mathit{ijk}}^{F}\right)}^{2}-{\omega}^{2}\right\rbrace` * :math:`{F}^{S}={\Phi}_{\mathit{mn}}^{S}({x}_{F},{y}_{F})\cdot F` * :math:`{{\rm E}}_{\lbrace \mathit{mn}\rbrace \lbrace \mathit{ijk}\rbrace }=\underset{0}{\overset{L}{\int}}\underset{0}{\overset{L}{\int}}{\Phi}_{\mathit{mn}}^{S}(x,y){\Phi}_{\mathit{ijk}}^{F}(x,y,0)\text{dx}\text{dy}={A}_{\mathit{mn}}^{S}{A}_{\mathit{ijk}}^{F}{c}_{x}{c}_{y}` * :math:`{c}_{x}=-\frac{{L}_{x}}{\pi}\left(\frac{\cos(m-i)\pi }{2(m-i)}+\frac{\cos(m+i)\pi }{2(m+i)}\right)` * :math:`{c}_{y}=-\frac{{L}_{y}}{\pi}\left(\frac{\cos(n-j)\pi }{2(n-j)}+\frac{\cos(n+j)\pi }{2(n+j)}\right)` La réponse dynamique couplée (déplacement :math:`\text{u}` pour la structure et pression acoustique :math:`\text{p}` pour le fluide) peut alors être calculée par: :math:`u(x,y)=\sum_{m,n}{\Phi}_{\mathit{mn}}^{S}(x,y){X}_{\mathit{mn}}^{S}` :math:`p(x,y,z)=\sum_{i,j,k}{\Phi}_{\mathit{ijk}}^{F}(x,y,z){X}_{\mathit{ijk}}^{F}` Résultats de référence ---------------------- On calcule la pression aux points :math:`\mathit{N1}` , :math:`\mathit{N2}` , :math:`\mathit{N3}` . Incertitude sur la solution --------------------------- * Solution analytique. Références bibliographiques --------------------------- * [:ref:`1 <1>`] Rayonnement acoustique des structures, Vibroacoustique, Interaction fluide-structure, p. 27 de Claude Lesueur – Collection de la direction des Etudes et Recherches d'EDF. [:ref:`2 <2>`] Rayonnement acoustique des structures, Vibroacoustique, Interaction fluide-structure, p. 80 de Claude Lesueur – Collection de la direction des Etudes et Recherches d'EDF. [:ref:`3 <3>`] Derivation of a reference solution for a Cavity-Plate problem par J.-P. Coyette de Numerical Integration Technologies – Note interne. *