2. Solution de référence

2.1. Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence

Pour le calcul des coefficients ajoutés:

on montre [bib1] que les coefficients de masse et d’amortissements ajoutés dépendent du potentiel permanent des vitesses fluides \(\stackrel{ˉ}{\phi }\) ainsi que de deux potentiels fluctuants \({\phi }_{1}\) et \({\phi }_{2}\) : ces potentiels s’écrivent dans le cas du mouvement de rotation du cylindre externe autour du pivot C [bib1]:

Or les coefficients modaux ajoutés projetés sur ce mode de rotation s’écrivent:

soit:

Pour le système à un degré de liberté équivalent:

Il s’agit d’un système masse-ressort-amortisseur représentant le mouvement de rotation du cylindre autour du pivot \(C\) aval.

• l’inertie du système mécanique soumis à l’écoulement s’écrit:

  

où

est l’inertie du cylindre extérieur pivotant par rapport à l’axe \(\mathrm{Cx}\) (cf figure ci‑dessous) en air.

On montre [bib2] que cette inertie vaut:

où

est la masse du cylindre:

où

est l’épaisseur du cylindre,

sa longueur totale.

est la masse volumique du cylindre.

ainsi

• l’amortissement du système mécanique soumis à l’écoulement s’écrit:

  

où

est l’amortissement du système mécanique en air. Habituellement,

est égal à quelques % de l’amortissement critique du système:

.

où

est l’inertie du cylindre en air calculé ci-dessus et

la rigidité du ressort au point de pivotement

. On prend l’amortissement réduit

égal à 1 %.

Ainsi, l’amortissement total du système sous écoulement s’écrit:

• la rigidité du système mécanique soumis à écoulement s’écrit:

  

où

est la rigidité du ressort en air.

est la rigidité ajoutée par l’écoulement. On montre [bib1] que celle-ci est nulle sur ce mode de rotation.

Ainsi la rigidité totale du système est indépendante de la vitessse d’écoulement.

• On calcule ensuite les modes complexes de ce système mécanique sous écoulement (vibrations libres amorties):

Les fréquences propres complexes de ce système s’écrivent [bib3]:

avec

: amortissement réduit du système

: pulsation propre.

• Applications numériques:

On a fait trois calculs d’amortissement ajouté correspondant à trois vitesses d’écoulement qui entraînent trois comportement vibratoires de la structure:

vitesse à \(4m/s\)

vitesse à \(4.24m/s\)

vitesse à \(6m/s\)

Les valeurs du système mécanique sont:

Les masse et amortissement ajoutés apportés par l’écoulement valent:

(indépendant de la valeur de la vitesse d’écoulement)

Suivant la vitesse d’entrée du fluide, on a:

Les amortissements du système fluide/structure s’écrivent:

• à

  

L’écoulement n’amplifie pas les vibrations. L’amortissement structural interne est suffisamment important pour dissiper l’énergie apportée par l’écoulement à la structure. Le système est encore amorti.

• à

  

L’amortissement du système s’annule.

• à

  

L’amortissement du système à cette dernière vitesse est négatif : le système entre alors en instabilité de flottement .

Les amortissements réduits correspondants s’écrivent:

La pulsation propre reste quant à elle inchangée :

.

2.2. Résultats de référence

Résultat analytique.

2.3. Références bibliographique

1. ROUSSEAU G., LUU H.T. : Masse, amortissement et raideur ajoutés pour une structure vibrante placée dans un écoulement potentiel - Bibliographie et implantation dans le Code_Aster - HP-61/95/064

2. BLEVINS R.D : Formulas for natural frequency and mode shape. Ed. Krieger 1984

3. SELIGMANN D, MICHEL R : Algorithmes de résolution pour le problème quadratique [R5.01.02], Manuel de Référence Aster .