Solution de référence
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Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence
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Pour le calcul des coefficients ajoutés:

on montre [:ref:`bib1 <bib1>`] que les coefficients de masse et d'amortissements ajoutés dépendent du potentiel permanent des vitesses fluides :math:`\stackrel{ˉ}{\phi }` ainsi que de deux potentiels fluctuants :math:`{\phi }_{1}` et :math:`{\phi }_{2}` : ces potentiels s'écrivent dans le cas du mouvement de rotation du cylindre externe autour du pivot C [:ref:`bib1 <bib1>`]:


.. image:: images/Object_12.svg
    :width: 382
    :height: 166


.. _RefImage_Object_12.svg:

Or les coefficients modaux ajoutés projetés sur ce mode de rotation s'écrivent:


.. image:: images/Object_13.svg
    :width: 382
    :height: 166


.. _RefImage_Object_13.svg:

soit:


.. image:: images/Object_14.svg
    :width: 382
    :height: 166


.. _RefImage_Object_14.svg:

Pour le système à un degré de liberté équivalent:

Il s'agit d'un système masse-ressort-amortisseur représentant le mouvement de rotation du cylindre autour du pivot :math:`C` aval.


.. image:: images/1000032C00000CEB000008450E8D38D607DC8481.svg
    :width: 382
    :height: 166


.. _RefImage_1000032C00000CEB000008450E8D38D607DC8481.svg:


*   l'inertie du système mécanique soumis à l'écoulement s'écrit:

    .. image:: images/Object_15.svg
        :width: 382
        :height: 166


    .. _RefImage_Object_15.svg:

où

.. image:: images/Object_16.svg
    :width: 382
    :height: 166


.. _RefImage_Object_16.svg:

est l'inertie du cylindre extérieur pivotant par rapport à l'axe :math:`\mathrm{Cx}` (cf figure ci‑dessous) en air.

On montre [:ref:`bib2 <bib2>`] que cette inertie vaut:


.. image:: images/Object_17.svg
    :width: 382
    :height: 166


.. _RefImage_Object_17.svg:

où

.. image:: images/Object_18.svg
    :width: 382
    :height: 166


.. _RefImage_Object_18.svg:

est la masse du cylindre:


.. image:: images/Object_19.svg
    :width: 382
    :height: 166


.. _RefImage_Object_19.svg:

où

.. image:: images/Object_20.svg
    :width: 382
    :height: 166


.. _RefImage_Object_20.svg:

est l'épaisseur du cylindre,

.. image:: images/Object_21.svg
    :width: 382
    :height: 166


.. _RefImage_Object_21.svg:

sa longueur totale.


.. image:: images/Object_22.svg
    :width: 382
    :height: 166


.. _RefImage_Object_22.svg:

est la masse volumique du cylindre.


.. image:: images/10002806000024CB000009180AB86993A0037FC4.svg
    :width: 382
    :height: 166


.. _RefImage_10002806000024CB000009180AB86993A0037FC4.svg:

ainsi

.. image:: images/Object_23.svg
    :width: 382
    :height: 166


.. _RefImage_Object_23.svg:


*   l'amortissement du système mécanique soumis à l'écoulement s'écrit:

    .. image:: images/Object_24.svg
        :width: 382
        :height: 166


    .. _RefImage_Object_24.svg:

où

.. image:: images/Object_25.svg
    :width: 382
    :height: 166


.. _RefImage_Object_25.svg:

est l'amortissement du système mécanique en air. Habituellement,

.. image:: images/Object_26.svg
    :width: 382
    :height: 166


.. _RefImage_Object_26.svg:

est égal à quelques % de l'amortissement critique du système:

.. image:: images/Object_27.svg
    :width: 382
    :height: 166


.. _RefImage_Object_27.svg:

.

où

.. image:: images/Object_28.svg
    :width: 382
    :height: 166


.. _RefImage_Object_28.svg:

est l'inertie du cylindre en air calculé ci-dessus et

.. image:: images/Object_29.svg
    :width: 382
    :height: 166


.. _RefImage_Object_29.svg:

la rigidité du ressort au point de pivotement

.. image:: images/Object_30.svg
    :width: 382
    :height: 166


.. _RefImage_Object_30.svg:

. On prend l'amortissement réduit

.. image:: images/Object_31.svg
    :width: 382
    :height: 166


.. _RefImage_Object_31.svg:

égal à 1 %.

Ainsi, l'amortissement total du système sous écoulement s'écrit:


.. image:: images/Object_32.svg
    :width: 382
    :height: 166


.. _RefImage_Object_32.svg:


*   la rigidité du système mécanique soumis à écoulement s'écrit:

    .. image:: images/Object_33.svg
        :width: 382
        :height: 166


    .. _RefImage_Object_33.svg:

où

.. image:: images/Object_34.svg
    :width: 382
    :height: 166


.. _RefImage_Object_34.svg:

est la rigidité du ressort en air.

.. image:: images/Object_35.svg
    :width: 382
    :height: 166


.. _RefImage_Object_35.svg:

est la rigidité ajoutée par l'écoulement. On montre [:ref:`bib1 <bib1>`] que celle-ci est nulle sur ce mode de rotation.


.. image:: images/Object_36.svg
    :width: 382
    :height: 166


.. _RefImage_Object_36.svg:

Ainsi la rigidité totale du système est indépendante de la vitessse d'écoulement.


.. image:: images/Object_37.svg
    :width: 382
    :height: 166


.. _RefImage_Object_37.svg:


*   On calcule ensuite les modes complexes de ce système mécanique sous écoulement (vibrations libres amorties):


.. image:: images/Object_38.svg
    :width: 382
    :height: 166


.. _RefImage_Object_38.svg:

Les fréquences propres complexes de ce système s'écrivent [:ref:`bib3 <bib3>`]:


.. image:: images/Object_39.svg
    :width: 382
    :height: 166


.. _RefImage_Object_39.svg:

avec

.. image:: images/Object_40.svg
    :width: 382
    :height: 166


.. _RefImage_Object_40.svg:


.. image:: images/Object_41.svg
    :width: 382
    :height: 166


.. _RefImage_Object_41.svg:

: amortissement réduit du système


.. image:: images/Object_42.svg
    :width: 382
    :height: 166


.. _RefImage_Object_42.svg:

: pulsation propre.


*   Applications numériques:

On a fait trois calculs d'amortissement ajouté correspondant à trois vitesses d'écoulement qui entraînent trois comportement vibratoires de la structure:

vitesse à :math:`4m/s`

vitesse à :math:`4.24m/s`

vitesse à :math:`6m/s`

Les valeurs du système mécanique sont:


.. image:: images/Object_43.svg
    :width: 382
    :height: 166


.. _RefImage_Object_43.svg:

Les masse et amortissement ajoutés apportés par l'écoulement valent:


.. image:: images/Object_44.svg
    :width: 382
    :height: 166


.. _RefImage_Object_44.svg:

(indépendant de la valeur de la vitesse d'écoulement)

Suivant la vitesse d'entrée du fluide, on a:


.. image:: images/Object_45.svg
    :width: 382
    :height: 166


.. _RefImage_Object_45.svg:

Les amortissements du système fluide/structure s'écrivent:


*   à

    .. image:: images/Object_46.svg
        :width: 382
        :height: 166


    .. _RefImage_Object_46.svg:

L'écoulement n'amplifie pas les vibrations. L'amortissement structural interne est suffisamment important pour dissiper l'énergie apportée par l'écoulement à la structure. Le système est encore amorti.


*   à

    .. image:: images/Object_47.svg
        :width: 382
        :height: 166


    .. _RefImage_Object_47.svg:

L'amortissement du système s'annule.


*   à

    .. image:: images/Object_48.svg
        :width: 382
        :height: 166


    .. _RefImage_Object_48.svg:

L'amortissement du système à cette dernière vitesse est négatif : le système entre alors en **instabilité de flottement** .

Les amortissements réduits correspondants s'écrivent:


.. image:: images/Object_49.svg
    :width: 382
    :height: 166


.. _RefImage_Object_49.svg:

La pulsation propre reste quant à elle inchangée :

.. image:: images/Object_50.svg
    :width: 382
    :height: 166


.. _RefImage_Object_50.svg:

.


Résultats de référence
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Résultat analytique.


Références bibliographique
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1.  ROUSSEAU G., LUU H.T. : Masse, amortissement et raideur ajoutés pour une structure vibrante placée dans un écoulement potentiel - Bibliographie et implantation dans le *Code_Aster*  - HP-61/95/064


2.  BLEVINS R.D : Formulas for natural frequency and mode shape. Ed. Krieger 1984


3.  SELIGMANN D, MICHEL R : Algorithmes de résolution pour le problème quadratique [:ref:`R5.01.02 <R5.01.02>`], Manuel de Référence *Aster* .