2. Solution de référence

2.1. Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence

On se base sur un résultat analytique [bib1]:

Dans le cas de deux sphères concentriques immergées dans un même fluide, on montre que la masse ajoutée induite par le fluide confiné sur la sphère interne \(({S}_{1})\) vaut:

\({m}_{a}=\frac{2}{3}{\rho}_{f}\pi \left[\frac{1+2{(\frac{{R}_{1}}{{R}_{2}})}^{3}}{1-{(\frac{{R}_{1}}{{R}_{2}})}^{3}}\right]{R}_{1}^{3}\)

Si on suppose que la sphère n’a qu’un seul degré de liberté suivant \(\mathrm{Oz}\) , le mode propre de translation de la sphère \(({S}_{1})\) suivant \(\mathrm{Oz}\) est donné par:

\(f=\frac{1}{2\pi }\sqrt{\frac{\mathrm{2K}}{m+{m}_{a}}}\)

Application numérique :

\(K={10}^{5}N/m\)

\(m=12\mathrm{kg}\)

\({m}_{a}=329.17\mathrm{kg}\)

\(F=3.8534\mathrm{Hz}\)

2.2. Références bibliographiques

1. R.D. BLEVINS, « Formulas for natural frequency and mode shape », Ed.KRIEGER