Solution de référence
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Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence
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On se base sur un résultat analytique [:ref:`bib1 <bib1>`]:

Dans le cas de deux sphères concentriques immergées dans un même fluide, on montre que la masse ajoutée induite par le fluide confiné sur la sphère interne :math:`({S}_{1})` vaut:

:math:`{m}_{a}=\frac{2}{3}{\rho}_{f}\pi \left[\frac{1+2{(\frac{{R}_{1}}{{R}_{2}})}^{3}}{1-{(\frac{{R}_{1}}{{R}_{2}})}^{3}}\right]{R}_{1}^{3}`

Si on suppose que la sphère n'a qu'un seul degré de liberté suivant :math:`\mathrm{Oz}` , le mode propre de translation de la sphère :math:`({S}_{1})` suivant :math:`\mathrm{Oz}` est donné par:

:math:`f=\frac{1}{2\pi }\sqrt{\frac{\mathrm{2K}}{m+{m}_{a}}}`

Application numérique :

.. csv-table::

    ":math:`K={10}^{5}N/m`"
    ":math:`m=12\mathrm{kg}`"
    ":math:`{m}_{a}=329.17\mathrm{kg}`"
    ":math:`F=3.8534\mathrm{Hz}`"



Références bibliographiques
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1.  R.D. BLEVINS, "Formulas for natural frequency and mode shape", Ed.KRIEGER