2. Solution de référence

On r appelle que l’apport de masse d’eau s’écrit : \({m}_{w}=\varphi .{\rho}_{w}.(1+{\varepsilon}_{v})\) , ce que l’on peut dériver sous la forme suivante: \({\mathrm{dm}}_{w}=d\varphi {\rho}_{w}(1+{\varepsilon}_{v})+d{\rho}_{w}\varphi (1+{\varepsilon}_{v})+{\rho}_{w}\varphi d{\varepsilon}_{v}\) avec \(\varphi\) la porosité eulérienne.

Si l’on se place en hypothèse de petits déplacements, on aura donc :

(2.8)\[{\mathrm{dm}}_{w}=d\varphi {\rho}_{w}+d{\rho}_{w}\varphi +{\rho}_{w}\varphi d{\varepsilon}_{v}\]

La variation de porosité s’écrit suivant la relation :

(2.8)\[d\varphi =(b-\varphi )(d{\varepsilon}_{V}-3{\alpha}_{0}\text{dT}+\frac{{\text{dp}}_{w}}{{K}_{s}})\]

avec \({\alpha}_{0}\) la dilatation linéique du squelette (assimilable au milieu poreux). On rappelle que le coefficient de Biot \(b\) et le module de compressibilité des grains solides \({K}_{s}\) sont reliés au module de compressibilité «drainé» du milieu poreux \({K}_{0}\) , tel que:

\(b=1-\frac{{K}_{0}}{{K}_{s}}\)

Par ailleurs, la variation de la masse volumique de l’eau s’écrit :

(2.8)\[\frac{d{\rho}_{w}}{{\rho}_{w}}=\frac{{\text{dp}}_{w}}{{K}_{w}}-3{\alpha}_{w}\text{dT}\]

avec le module de compressibilité de l’eau \({K}_{w}\) et son module de dilatation \({\alpha}_{w}\) .

Enfin, si la loi de comportement est élastique, on rappelle que la déformation est reliée à la contrainte effective tel que :

(2.8)\[d{\epsilon}_{V}=\frac{d\sigma '}{{K}_{0}}+3{\alpha}_{0}\text{dT}\]

Par ailleurs, la formulation en contrainte totale, nous indique que :

\(d\sigma '=d\sigma +b{\text{dp}}_{w}\) , considérant ici que le milieux est à confinement constant, on a donc :

\(d\sigma '=b{\text{dp}}_{w}\) , ce qui nous donne au final

(2.8)\[d{\varepsilon}_{V}=\frac{b{\text{dp}}_{w}}{{K}_{0}}+3{\alpha}_{0}\text{dT}\]

On peut maintenant injecter (2), (3), (4) et (5) dans l’équation (1) et on obtient que :

(2.8)\[\frac{{\mathit{dm}}_{w}}{{\rho}_{w}}=(\frac{{b}^{2}}{{K}_{0}}+\frac{(b-\varphi )}{{K}_{s}}+\frac{\varphi}{{K}_{w}}){\text{dp}}_{w}+\varphi (3{\alpha}_{0}-3{\alpha}_{w})\text{dT}\]

Considérant que le milieu est non drainé on a donc :

(2.8)\[(\frac{{b}^{2}}{{K}_{0}}+\frac{(b-\varphi )}{{K}_{s}}+\frac{\varphi}{{K}_{w}}){\text{dp}}_{w}=\varphi (3{\alpha}_{w}-3{\alpha}_{0})\text{dT}\]

Ce qui peut s’écrire sous la forme :

(2.8)\[{\text{dp}}_{w}=\Lambda \text{dT}\]

Avec \(\Lambda\) le coefficient de pressurisation thermique tel que :

\(\Lambda =\frac{\phi \left(3{\alpha}_{w}-3{\alpha}_{0}\right)}{\left(\frac{{b}^{2}}{{K}_{0}}+\frac{\left(b-\phi \right)}{{K}_{s}}+\frac{\phi }{{K}_{w}}\right)}\)

On remarque que ce coefficient fait apparaître le différentiel thermique \(({\alpha}_{w}-{\alpha}_{0})\)

2.1. Dilatation thermique de l’eau constante

Dans le cas où \({\alpha}_{w}=\mathit{cte}\) l’application numérique est immédiate.

Application numérique :

Avec les données définies précédemment, on obtient :

\(\Lambda =2,25{10}^{5}\mathit{Pa.}{K}^{-1}\)

Ce qui donne pour une variation de température \(\Delta T=40°C\) , une variation de pression de \(\Delta p=9,01\mathit{Mpa}\) (soit une pression de 13,01 MPa).

2.2. Dilatation thermique de l’eau fonction de la température

Dans ce cas, on écrira

\(\Lambda (T)=\frac{\phi \left(3{\alpha}_{w}(T)-3{\alpha}_{0}\right)}{\left(\frac{{b}^{2}}{{K}_{0}}+\frac{\left(b-\phi \right)}{{K}_{s}}+\frac{\phi }{{K}_{w}}\right)}\) et

\({\text{dp}}_{w}=\Lambda (T)\text{dT}\)

Pour pouvoir intégrer cette formule, on considère que la dilatation thermique de l’eau est une fonction linéaire de la température telle que \({\alpha}_{w}=\mathit{a.}T+b\) . \(\Lambda (T)\) est alors également une fonction linéaire que l’on intègre entre la température initiale T0 et la température finale T1, ce qui donne:

\(\Delta p=\frac{A}{2}.({\mathit{T2}}^{2}-{\mathit{T1}}^{2})+B(\mathit{T2}-\mathit{T1})\) avec

\(A=\frac{3\phi a}{\left(\frac{{b}^{2}}{{K}_{0}}+\frac{\left(b-\phi \right)}{{K}_{s}}+\frac{\phi }{{K}_{w}}\right)}\)

et

\(B=\frac{\phi \left(\mathrm{3b}-3{\alpha}_{0}\right)}{\left(\frac{{b}^{2}}{{K}_{0}}+\frac{\left(b-\phi \right)}{{K}_{s}}+\frac{\phi }{{K}_{w}}\right)}\)

Application numérique :

On prend ici

\(a=2,63{10}^{-6}\) et \(b=-7{10}^{-4}\) ce qui correspond à \({\alpha}_{w}(293)=6,67.{10}^{-5}{K}^{-1}\) et \({\alpha}_{w}(333)=1,72.{10}^{-4}{K}^{-1}\) et qui constituent des valeurs réalistes pour l’eau.

Tout calcul fait, on obtient pour une variation de température entre 20°C et 60°C, une variation de pression de \(\Delta p=10,9\mathit{MPa}\) et donc une pression finale de \(14,9\mathit{MPa}\) .