Solution de référence
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On r    appelle que l'apport de masse d'eau s'écrit : :math:`{m}_{w}=\varphi .{\rho}_{w}.(1+{\varepsilon}_{v})` , ce que l'on peut dériver sous la forme suivante: :math:`{\mathrm{dm}}_{w}=d\varphi {\rho}_{w}(1+{\varepsilon}_{v})+d{\rho}_{w}\varphi (1+{\varepsilon}_{v})+{\rho}_{w}\varphi d{\varepsilon}_{v}` avec :math:`\varphi` la porosité eulérienne.

Si l'on se place en hypothèse de petits déplacements, on aura donc :

.. math::
    :label: eq-1

    {\mathrm{dm}}_{w}=d\varphi {\rho}_{w}+d{\rho}_{w}\varphi +{\rho}_{w}\varphi d{\varepsilon}_{v}

La variation de porosité s'écrit suivant la relation :

.. math::
    :label: eq-1

    d\varphi =(b-\varphi )(d{\varepsilon}_{V}-3{\alpha}_{0}\text{dT}+\frac{{\text{dp}}_{w}}{{K}_{s}})

avec :math:`{\alpha}_{0}` la dilatation linéique du squelette (assimilable au milieu poreux). On rappelle que le coefficient de Biot :math:`b` et le module de compressibilité des grains solides :math:`{K}_{s}` sont reliés au module de compressibilité «drainé» du milieu poreux :math:`{K}_{0}` , tel que:

:math:`b=1-\frac{{K}_{0}}{{K}_{s}}`

Par ailleurs, la variation de la masse volumique de l'eau s'écrit :

.. math::
    :label: eq-1

    \frac{d{\rho}_{w}}{{\rho}_{w}}=\frac{{\text{dp}}_{w}}{{K}_{w}}-3{\alpha}_{w}\text{dT}

avec le module de compressibilité de l’eau :math:`{K}_{w}` et son module de dilatation :math:`{\alpha}_{w}` .

Enfin, si la loi de comportement est élastique, on rappelle que la déformation est reliée à la contrainte effective tel que :

.. math::
    :label: eq-1

    d{\epsilon}_{V}=\frac{d\sigma '}{{K}_{0}}+3{\alpha}_{0}\text{dT}

Par ailleurs, la formulation en contrainte totale, nous indique que :

:math:`d\sigma '=d\sigma +b{\text{dp}}_{w}` , considérant ici que le milieux est à confinement constant, on a donc :

:math:`d\sigma '=b{\text{dp}}_{w}` , ce qui nous donne au final

.. math::
    :label: eq-1

    d{\varepsilon}_{V}=\frac{b{\text{dp}}_{w}}{{K}_{0}}+3{\alpha}_{0}\text{dT}

On peut maintenant injecter (2), (3), (4) et (5) dans l'équation (1) et on obtient que :

.. math::
    :label: eq-1

    \frac{{\mathit{dm}}_{w}}{{\rho}_{w}}=(\frac{{b}^{2}}{{K}_{0}}+\frac{(b-\varphi )}{{K}_{s}}+\frac{\varphi}{{K}_{w}}){\text{dp}}_{w}+\varphi (3{\alpha}_{0}-3{\alpha}_{w})\text{dT}

Considérant que le milieu est non drainé on a donc :

.. math::
    :label: eq-1

    (\frac{{b}^{2}}{{K}_{0}}+\frac{(b-\varphi )}{{K}_{s}}+\frac{\varphi}{{K}_{w}}){\text{dp}}_{w}=\varphi (3{\alpha}_{w}-3{\alpha}_{0})\text{dT}

Ce qui peut s'écrire sous la forme :


.. math::
    :label: eq-1

    {\text{dp}}_{w}=\Lambda \text{dT}

Avec :math:`\Lambda` le coefficient de pressurisation thermique tel que :

:math:`\Lambda =\frac{\phi \left(3{\alpha}_{w}-3{\alpha}_{0}\right)}{\left(\frac{{b}^{2}}{{K}_{0}}+\frac{\left(b-\phi \right)}{{K}_{s}}+\frac{\phi }{{K}_{w}}\right)}`

On remarque que ce coefficient fait apparaître le différentiel thermique :math:`({\alpha}_{w}-{\alpha}_{0})`


Dilatation thermique de l'eau constante
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Dans le cas où :math:`{\alpha}_{w}=\mathit{cte}` l'application numérique est immédiate.

**Application numérique :**

Avec les données définies précédemment, on obtient :

:math:`\Lambda =2,25{10}^{5}\mathit{Pa.}{K}^{-1}`

Ce qui donne pour une variation de température :math:`\Delta T=40°C` , une variation de pression de :math:`\Delta p=9,01\mathit{Mpa}` (soit une pression de 13,01 MPa).

.. _RefNumPara__898_670900974:


Dilatation thermique de l'eau fonction de la température
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Dans ce cas, on écrira

:math:`\Lambda (T)=\frac{\phi \left(3{\alpha}_{w}(T)-3{\alpha}_{0}\right)}{\left(\frac{{b}^{2}}{{K}_{0}}+\frac{\left(b-\phi \right)}{{K}_{s}}+\frac{\phi }{{K}_{w}}\right)}` et

:math:`{\text{dp}}_{w}=\Lambda (T)\text{dT}`

Pour pouvoir intégrer cette formule, on considère que la dilatation thermique de l'eau est une fonction linéaire de la température telle que :math:`{\alpha}_{w}=\mathit{a.}T+b` . :math:`\Lambda (T)` est alors également une fonction linéaire que l'on intègre entre la température initiale T0 et la température finale T1, ce qui donne:

:math:`\Delta p=\frac{A}{2}.({\mathit{T2}}^{2}-{\mathit{T1}}^{2})+B(\mathit{T2}-\mathit{T1})` avec

:math:`A=\frac{3\phi a}{\left(\frac{{b}^{2}}{{K}_{0}}+\frac{\left(b-\phi \right)}{{K}_{s}}+\frac{\phi }{{K}_{w}}\right)}`

et

:math:`B=\frac{\phi \left(\mathrm{3b}-3{\alpha}_{0}\right)}{\left(\frac{{b}^{2}}{{K}_{0}}+\frac{\left(b-\phi \right)}{{K}_{s}}+\frac{\phi }{{K}_{w}}\right)}`

**Application numérique :**

On prend ici

:math:`a=2,63{10}^{-6}` et :math:`b=-7{10}^{-4}` ce qui correspond à :math:`{\alpha}_{w}(293)=6,67.{10}^{-5}{K}^{-1}` et :math:`{\alpha}_{w}(333)=1,72.{10}^{-4}{K}^{-1}` et qui constituent des valeurs réalistes pour l'eau.

Tout calcul fait, on obtient pour une variation de température entre 20°C et 60°C, une variation de pression de :math:`\Delta p=10,9\mathit{MPa}` et donc une pression finale de :math:`14,9\mathit{MPa}` .