2. Solution de référence#
2.1. Méthode de calcul#
2.1.1. Calcul de la conservation de la masse d’air#
La conservation de la masse de gaz s’écrit:
\(\frac{{\mathrm{dm}}_{\mathrm{air}}}{\mathrm{dt}}+d({M}_{\mathrm{as}}+{M}_{\mathrm{ad}})\) éq 2.1.1-1
On écrit que la masse totale d’eau et la masse totale d’air sont conservée (car il n’y a pas de flux d’eau ni de gaz au bord) et on obtient:
\({m}_{\mathrm{air}}={m}_{\mathrm{as}}+{m}_{\mathrm{ad}}={S}_{0}({\rho}_{\mathrm{ad}}-{\rho}_{\mathrm{ad}}^{0})+(1-{S}_{0})({\rho}_{\mathrm{as}}-{\rho}_{\mathrm{as}}^{0})\)
donc
\(d({m}_{\mathrm{as}}+{m}_{\mathrm{ad}})={S}_{0}d{\rho}_{\mathrm{ad}}+(1-{S}_{0})d{\rho}_{\mathrm{as}}\) éq 2.1.1-2
\(d{\rho}_{\mathrm{as}}=\frac{{M}_{\mathrm{as}}^{\mathrm{ol}}}{\mathrm{RT}}{\mathrm{dp}}_{\mathrm{as}}\) et \(d{\rho}_{\mathrm{ad}}=\frac{{M}_{\mathrm{ad}}^{\mathrm{ol}}}{{K}_{H}}{\mathrm{dp}}_{\mathrm{as}}\)
\(\frac{{\mathrm{dm}}_{\mathrm{air}}}{\mathrm{dt}}=d(\frac{{M}_{\mathrm{ad}}^{\mathrm{ol}}}{{K}_{H}}{S}_{0}+(1-{S}_{0})\frac{{M}_{\mathrm{as}}^{\mathrm{ol}}}{\mathrm{RT}}{\mathrm{dp}}_{\mathrm{as}})\)
Calcul des vitesses:
\(\frac{{M}_{\mathrm{as}}}{{\rho}_{\mathrm{as}}}={\lambda}_{\mathrm{gz}}(-\nabla {p}_{\mathrm{as}})\) éq 2.1.1-3
puisque \({F}_{\mathrm{vp}}=0\) et \(\nabla {p}_{\mathrm{vp}}=0\)
et
\({M}_{\mathrm{ad}}={\rho}_{\mathrm{ad}}{\lambda}_{\mathrm{lq}}(-\nabla {p}_{\mathrm{lq}})-{F}_{\mathrm{ad}}\nabla {C}_{\mathrm{ad}}\) avec \({C}_{\mathrm{ad}}={\rho}_{\mathrm{ad}}\)
Comme \(\nabla {p}_{\mathrm{lq}}=\nabla {p}_{w}+\nabla {p}_{\mathrm{ad}}=\nabla {p}_{\mathrm{ad}}=\frac{\mathrm{RT}}{{K}_{H}}\nabla {p}_{\mathrm{as}}\)
\({M}_{\mathrm{ad}}={\rho}_{\mathrm{ad}}{\lambda}_{\mathrm{lq}}\frac{\mathrm{RT}}{{K}_{H}}(-\nabla {p}_{\mathrm{as}})-\frac{{M}_{\mathrm{ad}}^{\mathrm{ol}}}{{K}_{H}}{F}_{\mathrm{ad}}\nabla {p}_{\mathrm{as}}\)
[éq 2.1.1-1] peut alors se simplifier sous la forme suivante:
\(C\frac{{\mathrm{dp}}_{\mathrm{as}}}{\mathrm{dt}}=Ld(\nabla {p}_{\mathrm{as}})\)
avec
\(C=\frac{{M}_{\mathrm{ad}}^{\mathrm{ol}}}{{K}_{H}}{S}_{0}+(1-{S}_{0})\frac{{M}_{\mathrm{as}}^{\mathrm{ol}}}{\mathrm{RT}}\)
et
\(L={\rho}_{\mathrm{as}}^{0}{\lambda}_{\mathrm{gz}}+\frac{\mathrm{RT}}{{K}_{H}}{\rho}_{\mathrm{ad}}^{0}{\lambda}_{\mathrm{lq}}+\frac{{M}_{\mathrm{as}}^{\mathrm{ol}}}{{K}_{H}}{F}_{\mathrm{ad}}\)
Équation de la chaleur dont on connaît le résultat.
2.2. Résultats de référence#
Avec les valeurs numériques précédentes, on trouve:
\({p}_{\mathrm{as}}={10}^{5}\Rightarrow {p}_{\mathrm{ad}}^{0}=\frac{\mathrm{RT}}{{K}_{H}}{p}_{\mathrm{as}}^{0}=4992\)
\({\rho}_{\mathrm{as}}^{0}=\frac{{M}_{\mathrm{as}}^{\mathrm{ol}}}{\mathrm{RT}}{p}_{\mathrm{as}}^{0}=0.4\) et \({\rho}_{\mathrm{ad}}^{0}=\frac{{M}_{\mathrm{ad}}^{\mathrm{ol}}}{\mathrm{RT}}{p}_{\mathrm{ad}}^{0}=0.02\)
\({\rho}_{\mathrm{vp}}^{0}={\rho}_{\mathrm{vp}}={4.10}^{-3}\)
Les constantes de l’équation de la chaleur sont alors:
\(C=2.48{10}^{-6}\)
\(L=1.4{10}^{-16}\)
2.3. Incertitudes#
Les incertitudes sont assez grandes parce-que la solution analytique est une solution approchée du fait de la linéarisation des équations.