Solution de référence
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Méthode de calcul
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Calcul de la conservation de la masse d’air
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La conservation de la masse de gaz s’écrit:


.. _RefEquation 2.1.1-1:

 :math:`\frac{{\mathrm{dm}}_{\mathrm{air}}}{\mathrm{dt}}+d({M}_{\mathrm{as}}+{M}_{\mathrm{ad}})`                 éq 2.1.1-1

On écrit que la masse totale d’eau et la masse totale d’air sont conservée (car il n’y a pas de flux d’eau ni de gaz au bord) et on obtient:

:math:`{m}_{\mathrm{air}}={m}_{\mathrm{as}}+{m}_{\mathrm{ad}}={S}_{0}({\rho}_{\mathrm{ad}}-{\rho}_{\mathrm{ad}}^{0})+(1-{S}_{0})({\rho}_{\mathrm{as}}-{\rho}_{\mathrm{as}}^{0})`

donc




.. _RefEquation 2.1.1-2:

 :math:`d({m}_{\mathrm{as}}+{m}_{\mathrm{ad}})={S}_{0}d{\rho}_{\mathrm{ad}}+(1-{S}_{0})d{\rho}_{\mathrm{as}}`             éq 2.1.1-2

 :math:`d{\rho}_{\mathrm{as}}=\frac{{M}_{\mathrm{as}}^{\mathrm{ol}}}{\mathrm{RT}}{\mathrm{dp}}_{\mathrm{as}}` et :math:`d{\rho}_{\mathrm{ad}}=\frac{{M}_{\mathrm{ad}}^{\mathrm{ol}}}{{K}_{H}}{\mathrm{dp}}_{\mathrm{as}}`

 :math:`\frac{{\mathrm{dm}}_{\mathrm{air}}}{\mathrm{dt}}=d(\frac{{M}_{\mathrm{ad}}^{\mathrm{ol}}}{{K}_{H}}{S}_{0}+(1-{S}_{0})\frac{{M}_{\mathrm{as}}^{\mathrm{ol}}}{\mathrm{RT}}{\mathrm{dp}}_{\mathrm{as}})`

Calcul des vitesses:


.. _RefEquation 2.1.1-3:

 :math:`\frac{{M}_{\mathrm{as}}}{{\rho}_{\mathrm{as}}}={\lambda}_{\mathrm{gz}}(-\nabla {p}_{\mathrm{as}})`                                 éq 2.1.1-3

puisque :math:`{F}_{\mathrm{vp}}=0` et :math:`\nabla {p}_{\mathrm{vp}}=0`

et

:math:`{M}_{\mathrm{ad}}={\rho}_{\mathrm{ad}}{\lambda}_{\mathrm{lq}}(-\nabla {p}_{\mathrm{lq}})-{F}_{\mathrm{ad}}\nabla {C}_{\mathrm{ad}}` avec :math:`{C}_{\mathrm{ad}}={\rho}_{\mathrm{ad}}`

Comme :math:`\nabla {p}_{\mathrm{lq}}=\nabla {p}_{w}+\nabla {p}_{\mathrm{ad}}=\nabla {p}_{\mathrm{ad}}=\frac{\mathrm{RT}}{{K}_{H}}\nabla {p}_{\mathrm{as}}`

 :math:`{M}_{\mathrm{ad}}={\rho}_{\mathrm{ad}}{\lambda}_{\mathrm{lq}}\frac{\mathrm{RT}}{{K}_{H}}(-\nabla {p}_{\mathrm{as}})-\frac{{M}_{\mathrm{ad}}^{\mathrm{ol}}}{{K}_{H}}{F}_{\mathrm{ad}}\nabla {p}_{\mathrm{as}}`

[:ref:`éq 2.1.1-1 <éq 2.1.1-1>`] peut alors se simplifier sous la forme suivante:

:math:`C\frac{{\mathrm{dp}}_{\mathrm{as}}}{\mathrm{dt}}=Ld(\nabla {p}_{\mathrm{as}})`

avec

:math:`C=\frac{{M}_{\mathrm{ad}}^{\mathrm{ol}}}{{K}_{H}}{S}_{0}+(1-{S}_{0})\frac{{M}_{\mathrm{as}}^{\mathrm{ol}}}{\mathrm{RT}}`

et

:math:`L={\rho}_{\mathrm{as}}^{0}{\lambda}_{\mathrm{gz}}+\frac{\mathrm{RT}}{{K}_{H}}{\rho}_{\mathrm{ad}}^{0}{\lambda}_{\mathrm{lq}}+\frac{{M}_{\mathrm{as}}^{\mathrm{ol}}}{{K}_{H}}{F}_{\mathrm{ad}}`

Équation de la chaleur dont on connaît le résultat.


Résultats de référence
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Avec les valeurs numériques précédentes, on trouve:

:math:`{p}_{\mathrm{as}}={10}^{5}\Rightarrow {p}_{\mathrm{ad}}^{0}=\frac{\mathrm{RT}}{{K}_{H}}{p}_{\mathrm{as}}^{0}=4992`

:math:`{\rho}_{\mathrm{as}}^{0}=\frac{{M}_{\mathrm{as}}^{\mathrm{ol}}}{\mathrm{RT}}{p}_{\mathrm{as}}^{0}=0.4` et :math:`{\rho}_{\mathrm{ad}}^{0}=\frac{{M}_{\mathrm{ad}}^{\mathrm{ol}}}{\mathrm{RT}}{p}_{\mathrm{ad}}^{0}=0.02`

:math:`{\rho}_{\mathrm{vp}}^{0}={\rho}_{\mathrm{vp}}={4.10}^{-3}`

Les constantes de l’équation de la chaleur sont alors:

 :math:`C=2.48{10}^{-6}`

 :math:`L=1.4{10}^{-16}`


Incertitudes
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Les incertitudes sont assez grandes parce-que la solution analytique est une solution approchée du fait de la linéarisation des équations.