2. Solution de référence#

2.1. Méthode de calcul#

Soit un barreau saturé en eau (considérée comme incompressible). Ce barreau de longueur \(L\) et de hauteur \(h\) a une pression initiale \({P}_{l}(x,y,t=0)={P}_{i}\) et est soumis à un gradient de pression tel que \({P}_{l}(0,y,t)={P}_{G}\) et \({P}_{l}(L,y,t)={P}_{i}\) .

Ce problème d’évolution conduit au bout d’un temps \({t}_{p}\) à un état permanent linéaire tel que \(P(x,y,t>{t}_{p})=\frac{{P}_{\mathrm{ini}}-{P}_{G}}{L}x+{P}_{G}\)

Le flux d’eau \({M}_{11}\) (facteur du gradient de pression) est alors constant le long du barreau. Si on l’intègre sur une coupe verticale \(\Gamma\) du barreau, et de normale sortante \(\nu\) , on obtient :

\({\int}_{\Gamma}{M}_{11}.\nu =\mathit{h.}{\rho}_{l}\frac{{K}_{int}}{{\mu}_{l}}.\frac{{P}_{G}-{P}_{\mathit{ini}}}{L}.x.\nu\)

Le calcul de cette intégrale sera réalisée dans ce cas-test sur 3 surfaces (ou côté en \(\mathrm{2D}\) ).

2.2. Hypothèses simplificatrices#

Afin de tester le calcul des flux sur le modèle hydraulique le plus complet possible, on part d’une modélisation diphasique que l’on fait dégénérer en modélisation monophasique. Pour cela, on considère que le milieu est complètement saturé en eau et on impose une pression de gaz nulle sur tous les nœuds. Le système biphasique se ramène alors à résoudre le problème suivant :

\(\frac{\partial (\varphi {\rho}_{l})}{\partial t}-div({K}_{int}\frac{{\rho}_{l}{k}_{\mathit{rl}}}{{\mu}_{l}}\nabla {P}_{l})=0\)

  • Le liquide est incompressible : \({\rho}_{l}=c\)

  • La matrice est compressible et la porosité évolue proportionnellement à la pression de liquide : \(\frac{\partial \varphi }{\partial {P}_{l}}={E}_{m}\)

  • La perméabilité relative est prise égale à 1 : \({k}_{\mathrm{rl}}=1\)

L’équation de conservation de la masse pour le liquide s’écrit donc :

\({\rho}_{l}{E}_{m}\frac{\partial {P}_{l}}{\partial t}-d({K}_{i}\frac{{\rho}_{l}}{{\mu}_{l}}\nabla {P}_{l})=0\)

Une modélisation réellement saturée sera également testée (modélisation \(D\) ).

2.3. Incertitudes sur la solution#

Les incertitudes sont nulles, car la solution de référence est analytique.