2. Solution analytique#
2.1. Méthode de calcul#
Le problème monophasique instationnaire et monodimensionnel peut s’écrire sous une forme générale du type :
\(N\frac{\partial P}{\partial t}-{K}_{i}\Delta P=0\)
\(P(t=0)={P}_{0}\)
\(P(t,x=0)=0\)
\(\frac{\partial P}{\partial x}(t,x,L)=0\)
Ce problème admet une solution analytique obtenue par développement en séries de Fourier.
\(P={\sum}_{k=0}^{K}\frac{{\mathrm{4P}}_{0}}{(\mathrm{2k}+1)\pi }\exp(\frac{-{K}_{i}}{N}{\omega}_{k}^{2}t)\sin({\omega}_{k}x)\) avec \({\omega}_{k}=(k+\frac{1}{2})\frac{\pi}{L}\)
Le nombre de termes \(K\) de cette série est déterminé de la façon suivante:
Soit \({n}_{x}\) le nombre de points \({x}_{i}\) où la solution est évaluée à un instant \(t\) .
On pose:
\({a}_{k}^{i}=\frac{4}{(\mathrm{2k}+1)\pi }\exp(\frac{-{K}_{i}}{N}{\omega}_{k}^{2}t)\sin({\omega}_{k}{x}_{i})\)
Si bien que la solution peut s’écrire: \(P({x}_{i})={\sum}_{k=0}^{K}{P}_{0}.{a}_{k}^{i}\)
On choisit \(K\) tel que: \(\frac{1}{{n}_{x}}\sqrt{{\sum}_{i=1}^{\mathrm{nx}}{({a}_{k}^{i})}^{2}}<\epsilon\)
En pratique nous avons pris \(\varepsilon ={10}^{-10}\) .
Les allures de la solution analytique aux temps 1, 10, 100, 1000 sont montrées sur la figure ci-dessous:
Le tableau suivant donne le nombre de termes selon le temps:
Temps |
Nombre de termes série |
1 |
194 |
10 |
64 |
100 |
22 |
1000 |
8 |
Tableau 2.1-1: Représentation du nombre de terme en fonction du temps
2.2. Hypothèses simplificatrices#
On considère que le milieu est complètement saturé en gaz et on impose dans aster un pression de liquide nulle sur tous les nœuds. On impose une pression initiale de gaz \({P}_{g}^{\mathit{ref}}\) et on donne des conditions aux limites qui correspondent à une variation de cette pression de référence, Soit alors \(\delta {P}_{g}\) cette variation de pression. L’équation de conservation de la masse de gaz s’écrira :
\(\frac{\partial (\varphi \delta {P}_{g})}{\partial t}+d(\frac{{K}_{i}{k}_{g}}{{\mu}_{g}}({P}_{g}^{r}+\delta {P}_{g})d({P}_{g}^{r}+\delta {P}_{g}))=0\)
En supposant \(\delta {P}_{g}\) petit devant \({P}_{g}^{\mathit{ref}}\) , cette équation devient :
\(\frac{\partial (\varphi \delta {P}_{g})}{\partial t}+\frac{{K}_{i}{k}_{g}}{{\mu}_{g}}{P}_{g}^{r}\Delta (\delta {P}_{g})=0\)
C’est donc \(\delta {P}_{g}\) que l’on identifiera à la solution de l’équation analytique modèle.
De façon à retrouver les coefficients du problème modèle, on prendra :
\(\varphi =1\)
\({k}_{g}={\mu}_{g}=1\)
et on fera en sorte que
\({K}_{int}{P}_{\mathit{ref}}={10}^{-3}\) .