Solution analytique
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Méthode de calcul
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Le problème monophasique instationnaire et monodimensionnel peut s'écrire sous une forme générale du type :

:math:`N\frac{\partial P}{\partial t}-{K}_{i}\Delta P=0`

:math:`P(t=0)={P}_{0}`

:math:`P(t,x=0)=0`

:math:`\frac{\partial P}{\partial x}(t,x,L)=0`

Ce problème admet une solution analytique obtenue par développement en séries de Fourier.

:math:`P={\sum}_{k=0}^{K}\frac{{\mathrm{4P}}_{0}}{(\mathrm{2k}+1)\pi }\exp(\frac{-{K}_{i}}{N}{\omega}_{k}^{2}t)\sin({\omega}_{k}x)` avec :math:`{\omega}_{k}=(k+\frac{1}{2})\frac{\pi}{L}`

Le nombre de termes :math:`K` de cette série est déterminé de la façon suivante:

Soit :math:`{n}_{x}` le nombre de points :math:`{x}_{i}` où la solution est évaluée à un instant :math:`t` .

On pose:

:math:`{a}_{k}^{i}=\frac{4}{(\mathrm{2k}+1)\pi }\exp(\frac{-{K}_{i}}{N}{\omega}_{k}^{2}t)\sin({\omega}_{k}{x}_{i})`

Si bien que la solution peut s’écrire: :math:`P({x}_{i})={\sum}_{k=0}^{K}{P}_{0}.{a}_{k}^{i}`

On choisit :math:`K` tel que: :math:`\frac{1}{{n}_{x}}\sqrt{{\sum}_{i=1}^{\mathrm{nx}}{({a}_{k}^{i})}^{2}}<\epsilon`

En pratique nous avons pris :math:`\varepsilon ={10}^{-10}` .

Les allures de la solution analytique aux temps 1, 10, 100, 1000 sont montrées sur la figure ci-dessous:


.. image:: images/100000000000025800000190C21A5A0074EC48A0.png
    :width: 3.1252in
    :height: 2.0835in


.. _RefImage_100000000000025800000190C21A5A0074EC48A0.png:

Le tableau suivant donne le nombre de termes selon le temps:


.. csv-table::

    "Temps", "Nombre de termes série"
    "1", "194"
    "10", "64"
    "100", "22"
    "1000", "8"


Tableau 2.1-1: Représentation du nombre de terme en fonction du temps


Hypothèses simplificatrices
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On considère que le milieu est complètement saturé en gaz et on impose dans aster un pression de liquide nulle sur tous les nœuds. On impose une pression initiale de gaz :math:`{P}_{g}^{\mathit{ref}}` et on donne des conditions aux limites qui correspondent à une variation de cette pression de référence, Soit alors :math:`\delta {P}_{g}` cette variation de pression. L'équation de conservation de la masse de gaz s'écrira :

:math:`\frac{\partial (\varphi \delta {P}_{g})}{\partial t}+d(\frac{{K}_{i}{k}_{g}}{{\mu}_{g}}({P}_{g}^{r}+\delta {P}_{g})d({P}_{g}^{r}+\delta {P}_{g}))=0`

En supposant :math:`\delta {P}_{g}` petit devant :math:`{P}_{g}^{\mathit{ref}}` , cette équation devient :

:math:`\frac{\partial (\varphi \delta {P}_{g})}{\partial t}+\frac{{K}_{i}{k}_{g}}{{\mu}_{g}}{P}_{g}^{r}\Delta (\delta {P}_{g})=0`

C'est donc :math:`\delta {P}_{g}` que l'on identifiera à la solution de l'équation analytique modèle.

De façon à retrouver les coefficients du problème modèle, on prendra :

:math:`\varphi =1`

:math:`{k}_{g}={\mu}_{g}=1`

et on fera en sorte que

:math:`{K}_{int}{P}_{\mathit{ref}}={10}^{-3}` .