1. Problème de référence#
L’objectif de ce cas test est de comparer la solution obtenue avec les différents schémas à une solution analytique.
1.1. Géométrie#
On considère un barreau \(\mathrm{1D}\) de \(\mathrm{5m}\) de long. Concrètement le domaine maillé fera \([\mathrm{0m},5m]\times [\mathrm{0m};0,05m]\) (dans le cas de la modélisation en triangle, il est important de ne pas avoir de triangles trop «aplatis», le choix de la hauteur du domaine n’est donc pas anodin).
La durée de simulation est de \(\mathrm{100s}\) et le nombre de pas de temps est de 100.
1.2. Propriétés des matériaux#
On ne donne ici que les propriétés dont la solution dépend, sachant que le fichier de commande contient d’autres données de matériau qui ne jouent aucun rôle dans la solution du problème traité.
Gaz |
Masse molaire \((\mathit{kg}.{\mathit{mol}}^{-1})\) Viscosité \((\mathit{kg}.{m}^{-1}.{s}^{-1})\) Perméabilité relative \(({m}^{2})\) |
\(0,0001\) \(1\) \(1\) |
Gaz dissous |
Coefficient de Henry \((\mathit{Pa}.{\mathit{mol}}^{-1}.{m}^{3})\) |
\(10000000000\) |
Liquide |
Perméabilité relative \(({m}^{2})\) |
\(1\) |
Paramètres homogénéisés |
Perméabilité \({K}_{int}({m}^{2})\) Porosité Fick gaz \(({m}^{2}.{s}^{-1})\) Fick liquide \(({m}^{2}.{s}^{-1})\) |
\({10}^{-7}\) \(1\) \(0\) \(0\) |
Tableau 1.2-1 : Propriétés des matériaux
1.3. Conditions aux limites et chargements#
Les conditions limites sont les suivantes :
des conditions de Neumann à droite du domaine :
\(\frac{\partial (\delta {P}_{g})}{\partial x}(t,x=5,y)=0P\)
des condition de Dirichlet sur la partie gauche du domaine :
\({P}_{g}(t,x=0,y)=0\mathit{Pa}\)
1.4. Conditions initiales#
La variation de pression initiale de gaz par rapport à la pression de référence est de \(\delta {P}_{g}(t=0,x,y)={10}^{4}\mathit{Pa}\) .
On a également \({P}_{g}^{\mathit{ref}}(t=0,x,y)={10}^{4}\mathit{Pa}\) ce qui revient à étudier un problème faiblement non linéaire (pour être linéaire on aurait du choisir \({P}_{g}^{r}(t=0,x,y)={10}^{10}P\) ) (car on a : \({P}_{g}(t=0,x,y)={P}_{g}^{r}+\delta {P}_{g}(t=0,x,y)\) ).