2. Solution de référence#

2.1. Méthode de calcul#

Calcul de la conservation de la masse d’eau

La conservation de la masse d’eau \({\mathit{m}}_{\text{eau}}\) s’écrit:

(2.1)#\[\frac{dm_{\text{eau}}}{dt} + Div (M_{w} + M_{}v) = 0\]

Avec \({\mathit{M}}_{\text{w}}\) et \({\mathit{M}}_{\text{v}}\) les flux d’eau liquide et de vapeur d’eau respectivement.

On écrit que l’apport de masse totale d’eau est égale à celui de la masse de la vapeur d’eau (du fait de l’incompressibilité de l’eau) et on obtient:

(2.2)#\[dm_{\text{eau}} = (1-\mathit{S}){\phi}d{\rho}_{\text{v}} =(1-\mathit{S})\frac{{M}_{\text{v}}^{\text{ol}}}{RT}{\phi}{d{p}_{\text{v}}}\]

Comme la perméabilité est négligeable, on a :

(2.3)#\[M_{w}=0\]

Concernant le flux de vapeur d’eau, on l’écrit sous la forme:

(2.4)#\[M_{v}= {{\rho}_{\text{v}}}{{\lambda}_{\text{gz}}}(-\nabla{{p}_{\text{gz}}})-{{\mathit{F}}_{\text{v}}}{{\rho}_{\text{gz}}}{\nabla{\frac{{\rho}_{\text{v}}}{{\rho}_{\text{gz}}}}}\]

Avec \({\lambda}_{\text{gz}}\) la conductivité au gaz, \({\rho}_{\text{gz}}\) la densité du gaz, \({\rho}_{\text{v}}\) la densité de la vapeur d’eau et \({\mathit{F}}_{\text{v}}\) le coefficient de diffusion de Fick pour la vapeur d’eau

Etant donné que la pression de gaz (et sa densité du fait que les 2 composants ont la même masse molaire) est constante, on peut écrire l’équation (2.4) sous la forme:

(2.5)#\[M_{v}= -{{\mathit{F}}_{\text{v}}}{\nabla{{\rho}_{\text{v}}}} = -{{\mathit{F}}_{\text{v}}}\frac{{M}_{\text{v}}^{\text{ol}}}{RT}(\nabla{{p}_{\text{v}}})\]

L’équation (2.1) pourra alors s’écrire sous la forme:

(2.6)#\[(1-\mathit{S}){\phi}\frac{d{p}_{\text{v}}}{dt}= {{\mathit{F}}_{\text{v}}}(\nabla{{p}_{\text{v}}})\]

L’équation (2.6) peut alors se simplifier et s’écrire sous la forme suivante:

(2.7)#\[{C}\frac{d{p}_{\text{v}}}{dt}= {L}(\nabla{{p}_{\text{v}}})\]

Equation de la chaleur que l’on traite par un calcul thermique Aster en considérant \(C = (1-\mathit{S}){\phi} = 0.6\) (avec \({\phi} = 1\) et \({\mathit{S}} = 0.4\)) et \(L={{\mathit{F}}_{\text{v}}}= FV = 10^{-12}{m}^{2}.{s}^{-1}\)